2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷 一、选择题 1． 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（　　） A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形 C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对 2． 如图所示，下列符号表示错误的是（　　） A． B． C． D． 3． 在下列条件中，可判断平面与平行的是（　　） A．，都垂直于平面 B．内存在三点到的距离相等 C．，是内两条直线，且， D．，是两条异面直线，且，，， 4．已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论： ①； ②点到平面的距离为； ③二面角的余弦值为； ④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为. 其中所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题 9．如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则下列命题中正确的有（　　） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 10．三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是（　　） A．若，则为的重心 B．若，则为的垂心 C．若，则为的外心 D．若，，，则为的内心 11．在正方体中，，，则（　　） A．为钝角 B． C．平面 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于　 　. 13．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则　 　. 14．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是　 　．（请用正确命题的序号作答） ①若，则点到平面的距离为； ②若，则二面角的平面角为； ③若，则三棱锥的体积为； ④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为． 四、解答题 15．如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上. （1）若，当//平面时，求的值； （2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角． 17．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角． （1）当时，求证：； （2）当线段的长度最小时，求二面角的正弦值． 18． 如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）若，求点到平面的距离． 19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点. （1）用，，表示； （2）若底面是正方形，且，，求. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A,C,D 10．【答案】B,C 11．【答案】B,C,D 12．【答案】 13．【答案】1 14．【答案】②④ 15．【答案】（1）过作//交线段于，连接. //，平面，平面，//平面， 又//平面，，平面， 平面//平面， 平面平面， 平面平面，根据面面平行的性质定理，// 又//，四边形是平行四边形， ，而， 故，得，得. （2） ，（为四边形的面积），得. 由，得， 由余弦定理，，则， 根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则， 作直径，由圆内接四边形对角互补，则， 故，，故重合， 此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴， 过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的法向量为，则即 令，则，所以， 设直线与平面所成角为，则. 直线与平面所成角的正弦值为. 16．【答案】（1）由已知可得：，， 如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则由，， 可得方程组，解得． 可得由于，可得． 所以， 因为，， 设平面的法向量为， 由，即 取，得平面的法向量是， ， 故EF平面． （2）设点到平面的距离为， 由，． 点到平面的距离是． （3）由于，， 设平面的法向量为， 由即