专题十八 等腰三角形直角三角形-2024年中考数学一轮复习培优讲义（山西专用）

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第四章 三角形 专题十八 等腰三角形直角三角形 一、考点精讲 （一）、等腰三角形 等腰三角形 等腰三角形概念 有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （二）、等边三角形 等边三角形 等边三角形概念 三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充： （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线 （三）、直角三角形 直角三角形 直角三角形性质 ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半. 直角三角形判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形.  勾股定理及其逆定理 ①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方; ②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形. 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式多样，主要考查等腰三角形性质与判定，与等腰三角形有关的证明及计算，与直角三角形有关的证明与计算，在命题点下拓展其他新的考查形式。形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年十考(均与其他知识结合考查)，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生思维认知能力的考查。 高频考点 1．（2021·山西·统考中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 2．（2019·山西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是(     ) A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（2018·山西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　） A．12 B．6 C．6 D． 4．（2023.山西中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    5．（2021.山西中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ． 6．（2021·山西·统考中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ． 8．（2019·山西·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm. 9．（2017·山西·中考真题）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°．E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为 ． 10．（2016·山西·中考真题）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为 11．（2020·山西·统考中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日