山西省山西大学附属中学校2023-2024学年高三下学期第一次月考数学试题

山西大学附中2023～2024学年第二学期高三第一次月考 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：全部 审核人：高三数学组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（ ） A B. C. 0 D. 2 3. 是虚数单位，复数满足，其中. ：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，均为单位向量，且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ） A. B. C. D. 7. 设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( ) A. 、中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 、中至多有一个关于乘法是封闭的 C. 、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 、中每一个关于乘法都是封闭的 8. 已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ） A. 的最小值为 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则“”是“”的充分不必要条件 D. 不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是 10. 某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ） A. 90后考生比00后考生多150人 B. 笔试成绩的60%分位数为80 C. 参加面试的考生的成绩最低为86分 D. 笔试成绩的平均分为76分 11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 各项均为正数等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 _____． 13. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为___________，四棱锥的总曲率为___________. 14. 已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 16. 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点． （1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； （2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 17. 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，