命题点5 正方形的性质与判定&命题点6 特殊四边形之间的关系与中点四边形-【一战成名新中考】2024山东中考数学·分层作业本

分层作业本·山东数学 第 五 章 四 边 形 命题点５　正方形的性质与判定 　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标练 考向１　正方形的性质 １．（２０２２贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等 的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的 大正方形．若图中的直角三角形的两条直角 边的长分别为１和３，则中间小正方形的周长 是 （　Ｂ　） Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２３湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一 种益智玩具．某同学用边长为４ｄｍ的正方形 纸板制作了一副七巧板（见图），由５个等腰 直角三角形，１个正方形和１个平行四边形组 成．则图中阴影部分的面积为　２　ｄｍ２． ３．（２０２２青岛７题３分）如图，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ 对角线 ＡＣ的中点，△ＡＣＥ为等边三角形．若 ＡＢ＝２，则ＯＥ的长度为 （　Ｂ　） Ａ．槡６２ Ｂ．槡６ Ｃ．２槡２ Ｄ．２槡３ 第３题图 　　 第４题图 ４．（２０２３枣庄１５题３分）如图，在正方形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ为 ＢＣ上 一点，ＣＥ＝７，Ｆ为 ＤＥ的中点，若△ＣＥＦ的周 长为３２，则ＯＦ的长为　　　　． ５．（２０２３宜宾）如图，边长为６的正方形 ＡＢＣＤ 中，Ｍ为对角线 ＢＤ上的一点，连接 ＡＭ并延 长交ＣＤ于点Ｐ，若ＰＭ＝ＰＣ，则ＡＭ的长为 （　Ｃ　） 第５题图 Ａ．３（槡３－１） Ｂ．３（３槡３－２） Ｃ．６（槡３－１） Ｄ．６（３槡３－２） ６．（２０２２重庆Ａ卷）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＥ 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｅ，Ｆ是边 ＡＢ上一点， 连接 ＤＦ，若 ＢＥ＝ＡＦ，则 ∠ＣＤＦ的度数 为　６７．５°　． 第６题图 ７．（多解法·２０２２无锡）如图，正方形 ＡＢＣＤ的 边长为８，点Ｅ是ＣＤ的中点，ＨＧ垂直平分ＡＥ 且分别交ＡＥ，ＢＣ于点Ｈ，Ｇ，则ＢＧ＝　１　． 第７题图 ８．（鲁教八下 Ｐ２７第４题改编）如图，两个边长 为４的正方形重叠在一起，点 Ｏ是其中一个 正方形的中心，则图中阴影部分的面积 为　　　　． 第８题图                                                                   ４０１ 分层作业本·山东数学 第 五 章 四 边 形 ９．如图，正方形ＡＢＣＤ的面积为１２，点Ｅ在边ＣＤ 上，且ＣＥ＝２，∠ＡＢＥ的平分线交 ＡＤ于点 Ｆ， 点Ｍ，Ｎ分别是 ＢＥ，ＢＦ的中点，则 ＭＮ的长 为 （　Ａ　） 第９题图 Ａ．槡６－槡２ Ｂ．槡 ６－槡２ ２ Ｃ．２槡３－２ Ｄ．槡３－１ １０．（２０２２德州２２题１２分）如图，点Ｅ，Ｆ分别在 正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＡＤ上，且ＡＥ＝ＤＦ，点 Ｇ，Ｈ分别在边 ＡＢ，ＢＣ上，且 ＦＧ⊥ＥＨ，垂足 为Ｐ． （１）求证：ＦＧ＝ＥＨ； （２）若正方形 ＡＢＣＤ边长为 ５，ＡＥ＝２， ｔａｎ∠ＡＧＦ＝３４，求ＰＦ的长度． 第１０题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正 方形， 即ＡＦ＝ＢＥ， ∴△ＡＦＧ≌△ＢＥＨ（ＡＳＡ），∴ＦＧ＝ＥＨ； （２）解：∵ＡＤ＝５，ＡＥ＝ＤＦ＝２，∴ＡＦ＝３， 在Ｒｔ△ＡＦＧ中，ｔａｎ∠ＡＧＦ＝３４， 即 ＡＦ ＡＧ＝ ３ ４，∴ＡＧ＝４， ∴ＥＧ＝２，ＦＧ＝ ＡＦ２＋ＡＧ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５， ∵∠Ａ＝∠ＥＰＧ＝９０°，∠ＡＧＦ＝∠ＰＧＥ， ∴△ＡＦＧ∽△ＰＥＧ，∴ＡＧＰＧ＝ ＦＧ ＥＧ，即 ４ ＰＧ＝ ５ ２， ∴ＰＧ＝８５， ∴ＰＦ＝ＦＧ－ＰＧ＝５－８５＝ １７ ５． 考向２　正方形的判定 １１．已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，再从①ＡＢ ＝ＢＣ，②∠ＡＢＣ＝９０°，③ＡＣ＝ＢＤ，④ＡＣ⊥ＢＤ 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得 四边形ＡＢＣＤ是正方形，现有下列四种选法， 其中不正确的是 （　Ｂ　） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．②④ １２．（开放性问题·２０２３佳木斯）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，试添加 一个条件　ＡＢ＝ＡＤ（答案不唯一）　，使得 矩形ＡＢＣＤ为正方形． 第１２题图 １３．（２０２２邵阳）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ上， 且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形ＡＥＣＦ是正方形． 第１３题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是 菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ， ∵ＢＥ＝ＤＦ，∴ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＡＥＣＦ是菱形； ∵ＯＥ＝ＯＡ， ∴ＯＥ＝ＯＦ＝ＯＡ＝ＯＣ，即ＥＦ＝ＡＣ， ∴菱形ＡＥＣＦ是正方形． 强化提升练 第１４题图 １４．（２０２３广西）