命题点4 菱形的性质与判定-【一战成名新中考】2024山东中考数学·分层作业本

分层作业本·山东数学 第 五 章 四 边 形 命题点４　菱形的性质与判定 　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标练 考向１　菱形的性质 １．（２０２２青岛１２题３分）图①是艺术家埃舍尔 的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上 创造出立体效果，图②是一个菱形，将图②截 去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用 图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌 便得 到 图 ①，则 图 ④ 中 ∠ＡＢＣ 的 度 数 是　６０　°． 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 第１题图 ２．（２０２３湘潭）如图，菱形 ＡＢＣＤ中，连接 ＡＣ， ＢＤ，若∠１＝２０°，则∠２的度数为 （　Ｃ　） Ａ．２０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 第２题图 　　 第４题图 ３．（２０２３临沂１３题３分）若菱形的两条对角线 长分别为６和８，则该菱形的面积为　２４　． ４．（２０２３乐山）如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与 ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ为边 ＢＣ的中点，连接 ＯＥ． 若ＡＣ＝６，ＢＤ＝８，则ＯＥ＝ （　Ｂ　） Ａ．２ Ｂ．５２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．（２０２３陕西）点 Ｅ是菱形 ＡＢＣＤ的对称中心， ∠Ｂ＝５６°，连 接 ＡＥ，则 ∠ＢＡＥ 的 度 数 为　６２°　． ６．（多解法·２０２２仙桃）由４个形状相同，大小 相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶 点称为格点，点 Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，∠Ｏ＝ ６０°，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ （　Ｃ　） Ａ．１３ Ｂ． １ ２ Ｃ． 槡３ ３ Ｄ． 槡３ ２ 第６题图 　　 第７题图 ７．如图，菱形ＡＢＣＤ的边长是５，Ｏ是两条对角线 的交点，过点 Ｏ的三条直线将菱形分成六部 分，若菱形其中一条对角线的长为４，则阴影 部分的面积为　２槡２１　． ８．（２０２２淄博１０题５分）如图，在边长为４的菱 形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＤ边的中点，连接ＣＥ交对 角线ＢＤ于点Ｆ．若∠ＤＥＦ＝∠ＤＦＥ，则这个菱 形的面积为 （　Ｂ　） 第８题图 Ａ．１６ Ｂ．６槡７ Ｃ．１２槡７ Ｄ．３０ 考向２　菱形的判定 ９．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱 形的是 （　Ｃ　） １０．（２０２２青岛２３题改编）如图，在四边形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，点 Ｅ，Ｆ在对角线 ＢＤ上，ＢＥ＝ ＥＦ＝ＦＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ＝９０°．连接 ＡＥ， ＣＦ，可以添加一个条件使得四边形 ＡＥＣＦ                                                                   为 １０１ 分层作业本·山东数学 第 五 章 四 边 形 菱形，下列选项错误的是 （　Ｃ　） Ａ．∠ＡＢＤ＝３０° Ｂ．ＡＢ＝ＢＣ Ｃ．ＡＤ＝ＢＣ Ｄ．ＢＦ＝２ＡＦ 第１０题图 　　 第１１题图 １１．（开放性问题·２０２３齐齐哈尔）如图，在四边 形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ于点 Ｏ．请添 加一个条件： 　， 使四边形ＡＢＣＤ成为菱形． １２．（２０２３沈阳）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ 是ＢＣ边上的中线，点 Ｅ在 ＤＡ的延长线上， 连接ＢＥ，过点Ｃ作ＣＦ∥ＢＥ交ＡＤ的延长线 于点Ｆ，连接 ＢＦ，ＣＥ．求证：四边形 ＢＥＣＦ是 菱形． 第１２题图 证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的 中线， ∴ＡＤ垂直平分ＢＣ， ∴ＥＢ＝ＥＣ，ＦＢ＝ＦＣ， ∵ＣＦ∥ＢＥ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∠ＥＢＤ＝∠ＦＣＤ， ∵ＢＤ＝ＣＤ， ∴△ＥＢＤ≌△ＦＣＤ（ＡＡＳ）， ∴ＢＥ＝ＣＦ， ∴ＥＢ＝ＢＦ＝ＦＣ＝ＥＣ， ∴四边形ＢＥＣＦ是菱形． １３．（２０２２聊城２０题８分·北师九上Ｐ１３第３题 改编）如图，△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＡＢ上一点，点 Ｅ是ＡＣ的中点，过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ，交ＤＥ的 延长线于点Ｆ． （１）求证：ＡＤ＝ＣＦ； （２）连接ＡＦ，ＣＤ．如果点 Ｄ是 ＡＢ的中点，那 么当ＡＣ与 ＢＣ满足什么条件时，四边形 ＡＤＣＦ是菱形，证明你的结论． 第１３题图 （１）证明：∵ＣＦ∥ＡＢ， ∴∠ＡＤＦ＝∠ＣＦＤ，∠ＤＡＣ ＝∠ＦＣＡ， ∵点Ｅ是ＡＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＣＥ， ∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ， ∴ＡＤ＝ＣＦ； （２）解：当ＡＣ⊥ＢＣ时，四边形ＡＤＣＦ是菱形，证明 如下： 由（１）知，ＡＤ＝ＣＦ， ∵ＡＤ∥ＣＦ，∴四边形ＡＤＣＦ是平行四边形， ∵ＡＣ⊥ＢＣ，点Ｄ是ＡＢ的中点， ∴ＣＤ＝１２ＡＢ＝ＡＤ， ∴四边形ＡＤＣＦ是菱形． 强化提升练 １４．（２０２１枣庄８题３分）如图，四边形ＡＢＣＤ是 菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＣ＝６槡３， ＢＤ＝６，点 Ｐ是 ＡＣ上一动点，点 Ｅ是 ＡＢ的 中点，则ＰＤ＋ＰＥ的最小值