命题点2 垂径定理及其推论&命题点3 圆周角定理及其推论-【一战成名新中考】2024山东中考数学·基础夯实练

基础夯实练·山东数学 命题点２　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 垂径定理及其推论 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 要点归纳 １．垂径定理及其推论 （１）定理：垂直于弦的直径①　平分　弦，并且②　平分　弦所对的两条弧； 图１ （２）推论：平分弦（不是直径）的直径③　垂直　于弦，并且④　平分　弦所 对的弧． “知二推三”———如图１，根据圆的对称性，有以下五个结论：①ＣＤ是⊙Ｏ 的直径；②ＡＢ⊥⑤　ＣＤ　；③ＡＥ＝⑥　ＢＥ　；④ ) ＡＣ＝ ) ＢＣ；⑤ ) ＡＤ＝ ⑦　 ) ＢＤ　．只要满足其中两个，  另外三个结论一定成立． ２．垂径定理的应用 （１）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角形，运 图２ 用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算． （２）确定一条弧所在圆的圆心 如图２，确定 ) ＡＢ所在圆的圆心．作法：在 ) ＡＢ上取一点 Ｃ， 作ＡＣ，ＢＣ的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为 ) ＡＢ所在圆的圆心． （３）求圆内两条平行弦间的距离时，需要分情况讨论： 已知弦ＡＢ、弦ＣＤ、⊙Ｏ的半径长，若ＡＢ∥ＣＤ，求两条弦之间的距离ｄ 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求出 ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ－ＯＥ 利用勾股定理，在Ｒｔ△ＯＢＥ中求出ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ＋ＯＥ （４）点在圆上运动时，相关计算需要分情况讨论： 如图，根据圆的轴对称性，⊙Ｏ上到直径ＡＢ距离相等的点（０＜ｄ＜ｒ）的个数为４，设⊙Ｏ的 半径为ｒ，ＯＤ＝ｍ，ＣＤ＝ｈ 情况一：当点Ｄ在圆心左侧时 情况二：当点Ｄ在圆心右侧时 ＡＤ＝ｒ－ｍ，ＡＣ２＝（ｒ－ｍ）２＋ｈ２ ＡＤ＝ｒ＋ｍ，ＡＣ２＝（ｒ＋ｍ）２＋ｈ２ ４０１ 基础夯实练·山东数学 随堂练习 （人教九上Ｐ８３练习１改编）如图，⊙Ｏ的直径ＡＢ为１０ｃｍ，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为点Ｅ，连接ＯＣ， ＯＤ，ＡＣ． （１）有以下结论：①ＣＥ＝ＤＥ，②ＯＥ＝ＢＥ，③ ) ＡＣ＝ ) ＡＤ，④ ) ＣＢ＝ ) ＤＢ．其中正确的是 　①③④　；（填序号） （２）若∠ＡＯＣ＝１２０°，则∠ＣＯＤ＝　１２０　°，∠ＯＤＣ＝　３０　°； （３）若ＣＤ＝８ｃｍ，则ＣＥ＝　４　 ｃｍ，ＯＥ＝　３　 ｃｍ，ＢＥ＝　２　 ｃｍ， ｔａｎ∠ＯＣＥ＝　　　　； （４）若将⊙Ｏ在ＣＤ下方部分向上翻折，劣弧ＣＤ恰好经过圆心Ｏ，则ＣＤ的长为　５槡３　ｃｍ． （５）（较难 獉獉 ，分类讨论 獉獉獉獉 ）若弦 ＭＮ∥ＣＤ，ＣＤ＝６ｃｍ，ＭＮ＝８ｃｍ，则 ＭＮ与 ＣＤ之间的距离为 　１或７　ｃｍ． （６）（较难 獉獉 ，分类讨论 獉獉獉獉 ）若ＭＮ是⊙Ｏ的弦，ＭＮ⊥ＡＢ且ＭＮ＝８ｃｍ，则ＡＭ的长为　２槡５或４槡５　ｃｍ． 命题点３　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 圆周角定理及其推论 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并 证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是 直角，９０°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 要点归纳 １．圆周角定理及其推论 （１）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①　一半　． （２）圆周角定理的推论 推论１：同弧或等弧所对的圆周角②　相等　； 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是③　直角　 ；９０°的圆周角所对的弦是④　直径　． 圆周角定理 圆周角定理的推论 图形 表示 结论 ∠ＡＰＢ＝⑤　　　　∠ＡＯＢ ∠１⑥＝　∠２∠ＡＣＢ＝⑦　９０° ５０１ 基础夯实练·山东数学 易错警示：已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要  分情况讨论： 情况一：弦所对圆周角和圆心角在弦的同侧 情况二：弦所对圆周角和圆心角在弦的异侧 β＝⑧　　　　 β＝⑨　　　　　 ２．圆内接四边形的性质 （１）圆内接四边形的对角⑩　互补　，如图１，∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝瑏瑡　１８０°　； （２）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对角），如图 １， ∠ＡＤＥ＝瑏瑢　∠Ｂ　； （３）连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图２，△ＡＤＦ