命题点5 正方形的性质与判定&命题点6 特殊四边形之间的关系与中点四边形-【一战成名新中考】2024山东中考数学·基础夯实练

基础夯实练·山东数学 命题点５　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 正方形的性质与判定 １．理解正方形的概念； ２．正方形既是矩形，又是菱形． 要点归纳 １．正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的①　平行四边形　叫作正方形． ２．正方形的性质 边 两组对边分别平行，四条边②　相等　，即ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ 角 四个角都是③　直角（９０°）　 ，即∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝∠ＤＡＢ ＝９０° 对角线 对角线相等且④　互相垂直平分　，每一条对角线平分一组对角， 即ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ ＝∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝４５° 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有⑤　４　条对称轴，两条对 称轴是两条对角线所在的直线，另外两条对称轴是过对角线交点与 边平行的直线 面积 等于边长的平方，或对角线之积的⑥　一半　，即Ｓ＝ＡＢ２＝１２ＡＣ·ＢＤ ３．正方形的判定 　 ４．正方形中的特殊三角形与面积问题 图形 结论 一对全等 獉獉 的等腰直角三角 形；Ｓ１瑏瑤　＝　Ｓ２ 四对全等 獉獉 的等腰直角三角形； Ｓ１瑏瑥＝　Ｓ２瑏瑦＝　Ｓ３瑏瑧＝　Ｓ４ △ＡＥＧ和△ＣＦＧ都是 等腰直角三角形 ９９ 基础夯实练·山东数学 随堂练习 １．如图，在边长为６的正方形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）∠ＡＢＯ＝　４５°　，ＡＣ＝　６槡２　，ＢＯ＝　３槡２　； （２）点Ｅ在线段ＢＣ上，连接ＡＥ． ①若Ｅ是边ＢＣ的中点，则ｔａｎ∠ＢＡＥ＝　　　　，ＡＥ＝　３槡５　； ②设ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，若ＡＤ＝ＤＦ，则∠ＤＡＦ＝　６７．５°　，ＡＥ是△ＡＢＣ的　角平分线　． 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是对角线ＡＣ上一点，连接ＢＥ，ＤＥ． （１）若ＤＥ＝２，则ＢＥ＝　２　； （２）若ＡＢ＝４，ＡＥ＝３ＣＥ，则ＣＥ＝　槡２　，四边形ＡＤＥＢ的面积为　１２　． ３．在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，请添加一个条件，使四边形ＡＢＣＤ为正方形． ①若ＡＢ＝ＡＤ，添加的条件为　∠ＡＢＣ＝９０°（答案不唯一）　； ②若ＡＣ⊥ＢＤ，添加的条件为　ＡＣ＝ＢＤ（答案不唯一）　； ③若∠ＡＤＣ＝９０°，添加的条件为　ＡＣ⊥ＢＤ（答案不唯一）　． （２）如图①，若顺次添加下列条件中的三个条件便可得到正方形ＡＢＣＤ． ａ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；ｂ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；ｃ．ＡＢ＝ＢＣ；ｄ．∠ＡＢＣ＝９０°；ｅ．ＡＣ＝ＢＤ；ｆ．ＡＣ ⊥ＢＤ． 顺次添加条件：①ａ→ｃ→ｄ，②ｂ→ｄ→ｃ，③ａ→ｂ→ｆ，④ａ→ｃ→ｅ，⑤ｂ→ｄ→ｅ． 其中正确的是　①②④　．（填序号） 图① 　　　 图② 第３题图 （３）如图②，若四边形ＡＢＣＤ是正方形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ，过点Ｃ 作ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ相交于点Ｅ，求证：四边形ＤＯＣＥ是正方形． 证明：∵ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，∴四边形ＤＯＣＥ是平行四边形， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，∴ＯＤ＝ＯＣ，∠ＤＯＣ＝９０°． ∴四边形ＤＯＣＥ是正方形． ００１ 基础夯实练·山东数学 命题点６　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 特殊四边形之间的关系与中点四边形 １．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系； ２．理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 要点归纳 １．特殊四边形的性质对比 特殊四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四 个 角 都 是 直角 对角线互相平分且相等 轴对称图形； 中心对称图形 菱形 对边平行、四条 边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组对角 轴对称图形； 中心对称图形 正方形 对边平行、四条 边都相等 四 个 角 都 是 直角 对角线互相垂直平分且相 等，每一条对角线平分一组 对角 轴对称图形； 中心对称图形 ２．特殊四边形之间的关系 　 ３．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形（图示如下） 任意四边形→平行四边形 　　 矩形→菱形 　　 菱形→矩形 　　 正方形→正