精品解析：2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题

2024年集英苑冬季赛 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟． 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 平面向量，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 3. 已知实数x，y满足约束条件该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列满足，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设，集合．则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a，最小值为b，令为满足的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 98或99 7. 在中，角所对边分别是．已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 函数的最小正周期是_____________． 10. 椭圆经过双曲线的焦点，则_____________． 11. 已知圆锥的高等于底面半径r，则圆锥与半径为r的球的表面积之比是_____________． 12. 若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是_____________． 三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 如图，已知三棱柱，平面．D，E分别是的中点． （1）证明：平面; （2）设与平面所成角的大小是，若，证明：． 14. 设，函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在a，使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 15. 设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． （1）判断是否是“可分离子集”，并说明理由； （2）设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 16. 已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． （1）当时，求点A的纵坐标； （2）斜率为的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围． 17. 春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． （1）给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； （2）若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； （3）若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年集英苑冬季赛 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟． 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】对数运算可解. 【详解】. 故选：D 2. 平面向量，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3. 已知实数x，y满足约束条件该约束条件在坐标平面上表示的区域如