命题点5 三角形的内切圆与外接圆-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·陕西数学 （２）如图②，Ｄ为边ＡＢ的中点，以Ｄ为圆心，ｒ为半径作⊙Ｄ． ①当点Ｃ在⊙Ｄ上时，ｒ＝　　　　 ，此时点Ａ在⊙Ｄ　上　；（填“上”“内”或“外”） ②当⊙Ｄ与边ＢＣ只有一个交点时，ｒ＝　　　　，此时⊙Ｄ与直线ＡＣ的位置关系是　相离　； ③ 当⊙Ｄ与Ｒｔ△ＡＢＣ的边相切于点Ｅ时，ＤＥ的长是　　　　． 　　　 图① 　　 图② 　　 图③ 第１题图② 第２题图 ２．（人教九上Ｐ９８第１题改编）已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｄ是⊙Ｏ上一点． （１）如图①，过点Ａ作⊙Ｏ的切线，与射线ＢＤ交于点Ｃ，连接ＤＯ． ①若∠Ｃ＝５０°，则∠ＡＯＤ＝　８０　°； ②若ＡＣ＝３，ＡＢ＝４，则ＣＤ＝　　　　； （２）如图②，过点Ｄ作⊙Ｏ的切线，交ＢＡ的延长线于点Ｅ． ①若ＤＥ＝ＤＢ＝６，则∠Ｅ＝　３０　°，ＡＢ＝　４槡３　； ②若ＤＥ＝４，ＡＥ＝２，则ＯＢ＝　３　； （３）如图③，过点Ａ，Ｄ作⊙Ｏ的切线，两条切线相交于点Ｐ，连接ＯＰ， ①已知∠ＡＰＤ＝６０°，ＰＡ＝１，则△ＰＡＤ的周长为　３　，∠ＤＡＢ＝　３０°　，点Ｏ到弦ＡＤ的 距离是　　　　； ②下面是证明ＯＰ∥ＢＤ的过程，请补充完整； 证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝　９０°　．（依据：　直径所对的圆周角是直角　） ∵ＡＰ，ＤＰ是⊙Ｏ的切线，∴ＰＯ　⊥　ＡＤ，（依据：切线长定理） ∴ＯＰ∥ＢＤ． ③若ＡＤ＝８，ＢＤ＝６，求ＯＰ的长． 命题点５　三角形的内切圆与外接圆（２０１７．２６（１）涉及 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．了解三角形的内心与外心； ２．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆． 要点归纳 １．确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． ０１１ 基础夯实练·陕西数学 ２．三角形的内切圆与外接圆： 定义 图形 圆心 结论 三角形的 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心：三角形三个内角 的①　平分线　 的交点 ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ， ∠ＥＯＤ＋∠Ｃ＝１８０°， ∠ＡＯＢ＝９０°＋１２∠Ｃ， ＣＥ＝ＣＤ 三角形 的外接圆 经过三角 形的三个 顶点的圆 外心：三角形三条边 的②　分线　 的交点 ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ， ∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ 温馨提示：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外 心在三角形外．当三角形形状不确定时，  应用外心一定要分类讨论． ３．几个拓展知识 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得：ｒ＝ ２Ｓ△ＡＢＣ ａ＋ｂ＋ｃ 利用等面积法可得：ｒ＝ ａｂａ＋ｂ＋ｃ； 利用切线长定理可得：ｒ＝ａ＋ｂ－ｃ２ 随堂练习 １．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ（０，３），点Ｂ（２，１），点Ｃ（２，－３），则△ＡＢＣ的外心坐标 是　（－２，－１）　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　　　 第３题图 ２．如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的内心，也是△ＤＢＣ的外心．若∠Ａ＝８０°，则∠Ｄ的度数是　６５°　． ３．（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了 一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾 （短直角边）长为５步，股（长直角边）长为１２步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直 径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　４　步． 【思维点拨】遇到选填题可以用前面几种典型半径的求法快速得到答案． １１１ 例１证明：如解图，连接ＯＰ，交ＢＤ于点Ｅ， ∵点Ｐ为 ) ＢＤ的中点，∴ＢＤ⊥ＯＰ，∴∠ＯＥＢ＝９０°， ∵ＢＤ∥ＣＰ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＰＣ＝９０°， ∴ＰＣ⊥ＯＰ， ∵ＯＰ为⊙Ｏ的半径，∴ＣＰ与⊙Ｏ相切． 例１题解图 　　 例２题解图 例２证明：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ， ∵∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴ＡＤ＝ＤＦ， ∴ＤＦ是⊙Ｄ的半径， ∵ＤＦ⊥ＢＣ， ∴ＢＣ是⊙Ｄ的切线． 随堂练习　１．（１）①０＜ｒ＜３；②相交；③３＜ｒ≤４；（２）①５２， 上；②３２，相离；③ ３ ２或２ ２．（１）①８０；② ９５；（２）①３０， 槡４ ３；②３；（３）①３，３０°， 槡３ ６； ②９０°，直径所对的圆周角是直角，⊥； ③解：∵在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ＝９０°，ＡＤ＝８，ＢＤ＝６， ∴ＡＢ＝１０，∴ＡＯ＝５， 由②可知ＯＰ∥ＢＤ，∴∠ＰＯＡ＝∠ＡＢＤ； ∵∠ＰＡＯ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∴△ＰＡＯ∽△ＡＤＢ， ∴ＡＯＤＢ＝ Ｐ