命题点3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·陕西数学 命题点３　矩形的性质与判定（除２０２０，其余每年均涉及 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解矩形的概念； ２．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；探索并证明矩形的 判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形． 要点归纳 １．矩形：有一个角是①　直角　的平行四边形 獉獉獉獉獉 叫作矩形． ２．矩形的性质（矩形具有平行四边形的一切性质） 边 对边②　平行　且③　相等　，即 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ 角 四个角都是直角，即∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝∠ＤＡＢ＝９０° 对角线 对角线互相④　平分且相等　，即ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，ＡＣ＝ＢＤ 对称性 既是轴对称图形（有⑤　２　条对称轴），又是中心对称图形 面积 等于相邻两边的乘积，Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＡＤ ３．矩形的判定 已知四边形ＡＢＣＤ，请添加适当的条件，使四边形ＡＢＣＤ为矩形． 图形 添加条件 判定定理 （１）∠ＡＢＣ＝⑥　９０　° 有⑦　一个角是直角　的平行四 边形是矩形 （２）ＡＣ⑧　＝　ＢＤ ⑨　对角线相等　的平行四边形 是矩形 （３）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ⑩　９０　° 有瑏瑡　三个角　是直角的四边形 是矩形 ４．矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 延伸———６０° （或ＡＢ＝ＡＯ） 结论 一对全等 獉獉 的直角三角形； Ｓ１瑏瑢　＝　Ｓ２ 两对全等 獉獉 的等腰三角形； Ｓ１瑏瑣＝　Ｓ２瑏瑤＝　Ｓ３瑏瑥＝　Ｓ４ △ＡＯＢ和△ＤＯＣ是一对 全等 獉獉 的等边三角形 ６９ 基础夯实练·陕西数学 随堂练习 １．在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）如图①，若ＡＯ＝５，ＡＢ＝６，则ＢＣ＝　８　，矩形ＡＢＣＤ的面积为　４８　； （２）如图②，过点Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，若ＯＰ＝２，ＢＣ＝８，则ＡＢ＝　４　，ＢＤ＝　４槡５　； 图① 　　 图② 　　 图③ 第１题图 （３）（人教八下Ｐ５３例１改编）如图②，若∠ＡＢＯ＝６０°，ＡＢ＝２，则△ＡＯＢ是　等边　三角形， ＡＣ＝　４　，ＢＣ＝　２槡３　； （４）如图③，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＢＤ交ＡＤ于Ｅ，若ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，则ＡＥ＝　３　． ２．在ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＢＣ，点Ｅ是ＣＢ延长线上一点，连接ＡＥ． 图① 　　 图② 第２题图 （１）如图①，有以下条件：①∠ＡＥＢ＝９０°，②ＡＥ∥ＢＤ，③ＡＥ＝ＢＥ，④ＡＤ＝ＥＢ．请你从所给条件 中选出一个使得四边形ＡＤＢＥ是矩形，填写在下面，并写出判定依据及证明过程． 你选的条件是　①　（填序号），判定依据是　三个角的四边形是矩形　；（答案不唯一） 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∵ＢＤ⊥ＢＣ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝９０°，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． （２）如图②，连接ＤＥ．若ＤＥ＝ＤＣ，求证：四边形ＡＤＢＥ是矩形． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ． ∵ＤＥ＝ＤＣ，ＤＢ⊥ＢＣ，∴ＤＥ＝ＡＢ，ＢＥ＝ＢＣ， ∴ＡＤ∥ＢＥ，ＡＤ＝ＢＥ，∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＤＥ＝ＡＢ，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形； ７９ ⑥∠ＡＤＣ　⑦１８０°　⑧平分　⑨ＣＯ　⑩ＤＯ　瑏瑡ＡＥ　瑏瑢ＡＢ ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ　瑏瑣两组对边　瑏瑤两组对边分别相等 瑏瑥ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ　瑏瑦一组对边平行且相等　瑏瑧ＡＯ＝ ＯＣ，ＢＯ＝ＯＤ　瑏瑨互相平分　瑏瑩∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ，∠ＡＤＣ＝ ∠ＡＢＣ　瑐瑠分别相等　瑐瑡＝　瑐瑢＝　瑐瑣＝　瑐瑤＝　瑐瑥 ＝　 瑐瑦＝　瑐瑧＝　瑐瑨＝　瑐瑩＝　瑑瑠＝　 随堂练习　１．（１）１２０°；（２）１１；（３）４；（４）４，２；（５）６； （６）（２，４）；（７）２，２ ２．（１）①④； （２）解法１：　证明：∵ＤＦ∥ＢＥ，∴∠ＤＦＥ＝∠ＢＥＦ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ． 又∵ＡＦ＝ＣＥ，ＤＦ＝ＢＥ，∴△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ，∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 解法２：　证明：∵ＤＦ∥ＢＥ，∴∠ＤＦＥ＝∠ＢＥＦ，∵ＡＦ＝ ＣＥ，∴ＡＦ＋ＥＦ＝ＣＥ＋ＥＦ，∴ＡＥ＝ＣＦ，又∵ＤＦ＝ＢＥ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ，∴ＡＢ＝ＣＤ，∵∠ＤＦＥ＝∠ＢＥＦ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ．∵ＡＦ＝ＣＥ，ＤＦ＝ＢＥ， ∴△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ，∴ＡＤ＝ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 解法３：　证明：∵ＤＦ∥ＢＥ，