5.5 正方形的性质与判定&5.6 特殊四边形之间的关系与中点四边形-【一战成名新中考】2024四川中考数学·分层作业本

分层作业本·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 命题点５　正方形的性质与判定 （成都６年３考） 基础达标练 考向１　正方形的性质 １．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｏ是 ＢＤ的中点，过 点Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，则∠ＢＯＥ的度数为 （　Ｂ　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２０° Ｂ．１３５° Ｃ．１４５° Ｄ．１５０° 【变式】（２０２３绵阳游仙区八下期末）已知正 方形ＡＢＣＤ的面积为８，则该正方形的对角线 ＡＣ的长度为 （　Ｃ　） Ａ．２ Ｂ．２槡２ Ｃ．４ Ｄ．４槡２ 第１题图 　　　 第２题图 ２．（２０２３成都温江区八下期末）如图，Ｆ是正方 形ＡＢＣＤ对角线 ＢＤ上一点，连接 ＡＦ，ＣＦ，并 延长 ＣＦ交 ＡＤ于点 Ｅ．若∠ＡＦＣ＝１３０°，则 ∠ＤＥＣ的度数为 （　Ｂ　） Ａ．６５° Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° ３．（２０２２重庆Ａ卷）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＥ平 分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｅ，点Ｆ是边ＡＢ上一点，连 接ＤＦ，若ＢＥ＝ＡＦ，则∠ＣＤＦ的度数为（　Ｃ　） Ａ．４５° Ｂ．６０° Ｃ．６７．５° Ｄ．７７．５° 第３题图 　　　 第４题图 ４．（２０２３哈尔滨）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ 在ＣＤ上，连接 ＡＥ，ＢＥ，Ｆ为 ＢＥ的中点，连接 ＣＦ，若 ＣＦ＝槡２９２， ＤＥ ＥＣ＝ ３ ２，则 ＡＥ的长为 　槡３４　． ５．【多解法】（人教八下Ｐ６３图２改编）如图１，将 两个大小不相等的正方形，通过裁剪拼接成一 个大正方形（如图２），如果裁剪前的两个正方 形的边长分别为４和３，那么拼接后大正方形 的对角线长为　５槡２　． 图１ 　　　 图２ 第５题图 ６．（人教八下 Ｐ６７习题１题改编）如图，在边长 为１０的正方形 ＡＢＣＤ外侧作等边三角形 ＣＤＥ，则△ＢＣＥ的面积为 （　Ｄ　） Ａ．５０槡３ Ｂ．５０ Ｃ．２５槡３ Ｄ．２５ 【拓展】∠ＤＥＢ的度数为　４５°　． 第６题图 　　 第７题图 ７．（２０２３安徽）如图，点 Ｅ在正方形 ＡＢＣＤ的对 角线ＡＣ上，ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，连接ＤＥ并延长， 交边ＢＣ于点Ｍ，交边ＡＢ的延长线于点Ｇ．若 ＡＦ＝２，ＦＢ＝１，则ＭＧ＝ （　Ｂ　） Ａ．２槡３ Ｂ． ３槡５ ２ Ｃ．槡５＋１ Ｄ．槡１０ ８．（２０２２广州）如图，正方形 ＡＢＣＤ的面积为３， 点Ｅ在边 ＣＤ上，且 ＣＥ＝１，∠ＡＢＥ的平分线 交ＡＤ于点Ｆ，点Ｍ，Ｎ分别是ＢＥ，ＢＦ的中点， 则ＭＮ的长为 （　Ｄ　） 第８题图 Ａ．槡６２ Ｂ． 槡３ ２ Ｃ．２－槡３ Ｄ． 槡６－槡２                                                                   ２ ７７ 分层作业本·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 ９．【优质原创】如图，四边形ＡＢＣＤ是边长为４的 正方形，Ｇ是 ＣＤ上一点，连接 ＢＧ，过点 Ｄ作 ＤＦ⊥ＢＧ交ＢＧ的延长线于点Ｆ． （１）求证：△ＢＧＣ∽△ＤＧＦ； （２）若Ｇ是ＣＤ的中点，求ＦＧ的长． 第９题图 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴∠Ｃ＝９０°， ∵ＢＦ⊥ＤＦ，∴∠Ｆ＝９０°，∴∠Ｃ＝∠Ｆ， ∵∠ＢＧＣ＝∠ＤＧＦ， ∴△ＢＧＣ∽△ＤＧＦ； （２）解：∵Ｇ是ＣＤ的中点， ∴ＣＧ＝ＤＧ＝１２ＣＤ＝２， ∵△ＢＧＣ∽△ＤＧＦ，∴ＢＣＣＧ＝ ＤＦ ＦＧ＝２， 设ＦＧ＝ｘ（ｘ＞０），则ＤＦ＝２ｘ， 在Ｒｔ△ＤＦＧ中，由勾股定理得ＦＧ２＋ＤＦ２＝ＤＧ２，即 ｘ２＋（２ｘ）２＝２２， 解得ｘ＝２槡５５（负值已舍去），∴ＦＧ＝ ２槡５ ５． 考向２　正方形的判定 １０．（２０２３南充二诊）在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ ＝∠Ｃ＝９０°．如果再添加一个条件可推出四边 形是正方形，那么这个条件可以是 （　Ｂ　） Ａ．ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＢＣ＝ＣＤ Ｃ．∠Ｄ＝９０° Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ １１．（２０２１玉林）一个四边形顺次添加下列条件 中的三个条件便得到正方形： ａ．两组对边分别相等；ｂ．一组对边平行且相 等；ｃ．一组邻边相等；ｄ．一个角是直角． 顺次添加的条件：①ａ→ｃ→ｄ；②ｂ→ｄ→ｃ；③ａ →ｂ→ｃ，则正确的是 （　Ｃ　） 第１１题图 Ａ．仅① Ｂ．仅③ Ｃ．①② Ｄ．②③ １２．（２０２２邵阳）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ上， 且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形ＡＥＣＦ是正方形． 第１２题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是 菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ， ∵ＢＥ＝ＤＦ， ∴ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＡＥＣＦ是菱形； ∵ＯＥ＝ＯＡ＝ＯＦ