6.3 圆周角定理及其推论-【一战成名新中考】2024四川中考数学·基础夯实练

基础夯实练·四川数学 命题点３　圆周角定理及其推论 ［成都６年４考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ］ 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角 定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对 的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 要点归纳 １．圆周角定理 内容 　　　　　　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①　一半　 常见图形 结论 ∠ＡＰＢ＝②　　　　∠ＡＯＢ ２．圆周角定理的推论 推论 推论１ 推论２ 内容 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等 半圆（或直径）所对的圆周角是③　直角　， ９０°的圆周角所对的弦是④　直径　 表示形式 如图，（１）∵ ) ＢＤ＝ ) ＢＤ，∴∠１＝⑤　∠２　； （２）∵ ) ＤＥ＝ ) ＢＤ，∴∠３＝∠２＝∠１ 如图，（１）∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠Ｃ＝⑥　９０°　； （２）∵∠Ｃ＝９０°，∴ＡＢ是⊙Ｏ的直径 图形 【易错警示】运用圆周角定理的推论１时，注意前提条件是“同圆或等圆中”． ３．已知圆内一条弦和其对应的圆心角，  求其对应的圆周角时要分情况讨论： 情况一：弦所对圆周角和圆心角在弦的同侧 情况二：弦所对圆周角和圆心角在弦的异侧 β＝⑦　　　　 β＝⑧　　　　 ２１１ 基础夯实练·四川数学 ４．圆内接四边形的性质 （１）圆内接四边形的对角⑨　互补　，如图１，∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝⑩　１８０°　； （２）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对角），如图 １， ∠ＡＤＥ＝瑏瑡　∠Ｂ　； （３）连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图２，△ＡＤＦ∽瑏瑢△ＢＣＦ　， △ＡＢＦ∽瑏瑣　△ＤＣＦ　． 图１ 　　　　　　 图２ 随堂练习 １．（人教九上Ｐ８７例４改编）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的两点． （１）若点Ｃ是 ) ＡＢ的中点，则△ＡＢＣ的形状是　等腰直角三角形　； 第１题图 （２）若点Ｃ是 ) ＡＢ的中点，∠ＡＢＤ＝６０°，则∠ＤＡＣ＝　７５　°； （３）若 ) ＡＣ＝２ ) ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝　３０　°，∠ＣＯＢ＝　６０　°； （４）若∠ＡＢＣ＝７２°，则∠ＣＤＢ＝　１８　°； （５）若ＢＣ＝ＯＣ，则∠ＢＡＣ＝　３０　°，ｔａｎ∠ＣＤＢ＝　３０　； （６）若ＢＣ＝３，∠ＣＤＢ＝３０°，则ＡＢ＝　６　； （７）若ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＢＡＣ＝１５°，ＡＢ＝４槡２，则∠ＯＣＤ＝　６０　°，∠ＯＢＣ＝　７５　°，ＣＤ＝　２槡２　； （８）若 ＡＢ＝４，∠ＢＣＤ＝４５°，则 ＣＤ的最大值为　４　，此时四边形 ＡＣＢＤ的形状是　正方 形　； （９）Ｐ是⊙Ｏ上异于Ｃ，Ｄ的一点，若∠ＣＯＤ＝８０°，则∠ＣＰＤ＝　　　　． ２．如图，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，连接ＡＣ，ＢＤ，延长ＣＤ至点Ｅ，∠ＢＡＣ为锐角． 第２题图 （１）若ＡＤ平分∠ＢＤＥ，求证：ＡＢ＝ＡＣ； （２）若ＢＣ＝２，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝１２，求⊙Ｏ的周长． （１）证明：∵ＡＤ平分∠ＢＤＥ，∴∠ＢＤＡ＝∠ＥＤＡ， ∵四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＥＤＡ＝∠ＡＢＣ， 又∵∠ＢＤＡ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ； （２）解：如解图，过点Ｃ作直径ＣＦ，连接ＢＦ，则∠ＦＢＣ＝９０°，∠Ｆ＝∠ＢＡＣ， 在Ｒｔ△ＦＢＣ中，ＢＣ＝２，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝１２＝ｓｉｎＦ＝ ＢＣ ＦＣ， 即 ２ ＦＣ＝ １ ２，∴ＦＣ＝４，即圆的直径为４， ∴圆的周长为４π． ３１１ 瑏瑨互相平分　瑏瑩∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ　瑐瑠分别 相等 随堂练习 １．（１）１２０°；（２）１１；（３）４；（４）４，２；（５）６；（６）（２，４）；（７）２，２ ２．（１）①④ （２）证明略 命题点３　矩形的性质与判定 要点归纳 ①直角　②平行　③相等　④平分且相等　⑤２　⑥９０ ⑦一个角是直角　⑧＝　⑨对角线相等　⑩９０　瑏瑡三个角 随堂练习 １．（１）８，４８；（２）４，槡４５；（３）等边，４，槡２３；（４）３ ２．（１）①，三个角是直角的四边形是矩形 ；（答案不唯一） 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∵ＢＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝９０°，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． （２）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ． ∵ＤＥ＝ＤＣ，ＤＢ⊥ＢＣ， ∴ＤＥ＝ＡＢ，ＢＥ＝ＢＣ，∴