5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024四川中考数学·基础夯实练

基础夯实练·四川数学 命题点３　矩形的性质与判定 ［成都６年６考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ］ １．理解矩形的概念． ２．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；探索并证明矩形的判定定理：三 个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形． 要点归纳 １．矩形：有一个角是①　直角　的平行四边形 獉獉獉獉獉 叫做矩形． ２．矩形的性质（矩形具有平行四边形的一切性质） 边 对边②　平行　且③　相等　，即ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ， ＡＤ＝ＢＣ 角 四个角都是直角，即∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝∠ＤＡＢ＝９０° 对角线 对角线互相④　平分且相等　，即ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，ＡＣ＝ＢＤ 对称性 既是轴对称图形（有⑤　２　条对称轴），又是中心对称图形 面积 等于相邻两边的乘积，Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＡＤ ３．矩形的判定 已知四边形ＡＢＣＤ，请添加适当的条件，使四边形ＡＢＣＤ为矩形． 图形 添加条件 判定定理 （１）∠ＡＢＣ＝⑥　９０　° 有⑦　一个角是直角　的平行四边形 是矩形 （２）ＡＣ⑧　＝　ＢＤ ⑨　对角线相等　的平行四边形是 矩形 （３）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ⑩　９０　° 有瑏瑡　三个角　是直角的四边形是 矩形 ４．矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 延伸：６０° （或ＡＢ＝ＡＯ） 结论 一对全等 獉獉 的直角三角形； Ｓ１＝Ｓ２ 两对全等 獉獉 的等腰三角形； Ｓ１＝Ｓ２＝Ｓ３＝Ｓ４ △ＡＯＢ和△ＤＯＣ是一对 全等 獉獉 的等边三角形 ９９ 基础夯实练·四川数学 随堂练习 １．在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）如图１，若ＡＯ＝５，ＡＢ＝６，则ＢＣ＝　８　，矩形ＡＢＣＤ的面积为　４８　； （２）如图２，过点Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，若ＯＰ＝２，ＢＣ＝８，则ＡＢ＝　４　，ＢＤ＝　４槡５　； 图１ 　　 图２ 　　 图３ 第１题图 （３）（人教八下Ｐ５３例１改编）如图２，若∠ＡＢＯ＝６０°，ＡＢ＝２，则△ＡＯＢ是　等边　三角形， ＡＣ＝　４　，ＢＣ＝　２槡３　； （４）如图３，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＢＤ交ＡＤ于点Ｅ，若ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，则ＡＥ＝　３　． ２．在ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＢＣ，点Ｅ是ＣＢ延长线上一点，连接ＡＥ． （１）如图１，有以下条件：①∠ＡＥＢ＝９０°，②ＡＥ∥ＢＤ，③ＡＥ＝ＢＥ，④ＡＤ＝ＥＢ．请你从所给条件 中选出一个能使四边形ＡＤＢＥ是矩形填写在下面，并写出判定依据及证明过程． 你选的条件是　①　（填序号），判定依据是　三个角是直角的四边形是矩形　．（答案 不唯一） 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∵ＢＤ⊥ＢＣ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝９０°，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． 　　　　　 图１ 　　 图２ 　　　　　　第２题图 （２）如图２，连接ＤＥ．若ＤＥ＝ＤＣ，求证：四边形ＡＤＢＥ是矩形． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ． ∵ＤＥ＝ＤＣ，ＤＢ⊥ＢＣ， ∴ＤＥ＝ＡＢ，ＢＥ＝ＢＣ，∴ＡＤ∥ＢＥ，ＡＤ＝ＢＥ， ∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＤＥ＝ＡＢ，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． （３）如图２，设ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ，若点Ｆ是ＡＢ的中点，求证：四边形ＡＤＢＥ是矩形． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＦ＝∠ＢＥＦ，∠ＤＡＦ＝∠ＥＢＦ， ∵点Ｆ是ＡＢ的中点，∴ＡＦ＝ＢＦ， ∴△ＡＤＦ≌△ＢＥＦ，∴ＤＦ＝ＥＦ， ∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＤＢ⊥ＢＣ，∴∠ＤＢＥ＝９０°， ∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． ００１ 瑏瑨互相平分　瑏瑩∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ　瑐瑠分别 相等 随堂练习 １．（１）１２０°；（２）１１；（３）４；（４）４，２；（５）６；（６）（２，４）；（７）２，２ ２．（１）①④ （２）证明略 命题点３　矩形的性质与判定 要点归纳 ①直角　②平行　③相等　④平分且相等　⑤２　⑥９０ ⑦一个角是直角　⑧＝　⑨对角线相等　⑩９０　瑏瑡三个角 随堂练习 １．（１）８，４８；（２）４，槡４５；（３）等边，４，槡２３；（４）３ ２．（１）①，三个角是直角的四边形是矩形 ；（答案不唯一） 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∵ＢＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝９０°，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． （２）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ． ∵ＤＥ＝ＤＣ，Ｄ