4.9 相似三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024四川中考数学·基础夯实练

基础夯实练·四川数学 命题点９　相似三角形的性质与判定 ［成都必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ］ １．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ２．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ３．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． ４．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似；三边成比例的两个三角形相似． ５．了解相似三角形判定定理的证明． ６．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． ７．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． ８．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． ９．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小 相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的． 要点归纳 １．比例的性质 基本性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ；如果ａｄ＝ｂｃ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ≠０），那么 ａ ｂ＝①　　　　 等比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ＝…＝ ｍ ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么 ａ＋ｃ＋…＋ｍ ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ ａ ｂ 合比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么 ａ＋ｂ ｂ ＝ ｃ＋ｄ ｄ；如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么 ａ－ｂ ｂ ＝ ｃ－ｄ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ｄ 拓展 黄金分割 概念：如图１，点Ｃ把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ，如果ＡＣＡＢ＝ ＢＣ ＡＣ，那么称线段ＡＢ被 点Ｃ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ与ＡＢ的比叫做黄金比，即ＡＣ∶ＡＢ ＝槡５－１２ ≈０．６１８．（作法如图２） 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 　　　 图４ ２．平行线分线段成比例 （１）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 已知：如图３，４，ｌ３∥ｌ４∥ｌ５，则 ＡＤ ＢＤ＝②　　　　， ＡＤ ＡＢ＝③　　　　， ＡＢ ＢＤ＝④　　　　． （２）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例． ７８ 基础夯实练·四川数学 ３．相似三角形的性质 （１）相似三角形的对应角⑤　相等　，对应边⑥　成比例　； （２）相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于⑦　相似比　； （３）相似三角形的周长比等于⑧　相似比　，面积比等于⑨　相似比的平方　． ４．相似三角形的判定 （１）判定定理 定理１：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ［人教独有］ 定理２：两角分别相等的两个三角形相似； 定理３：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 定理４：三边成比例的两个三角形相似． （２）判定思路 ①有平行截线———用判定定理１ ②有一对等角———找 另一对等角（定理２） 该角两边对应成比例（定理３{ ） ③有两边对应成比例———找 夹角相等（定理３） 第三边对应成比例（定理４{ ） ④直角三角形———找 一对锐角相等（定理２） 两组直角边成比例（定理３） 斜边及一组直角边成比例（定理４ { ） ⑤等腰三角形———找 顶角相等（定理２） 一对底角相等（定理２） 底和腰成比例（定理４ { ） ５．相似三角形模型梳理 平行线型 　　　 共角型 　　 　　 　　 注：若题中不能找到另一组等角，常考虑对应边成比例 直角三角形 斜边高线型 　　 　　 一线三等 角型 　　 　　 手拉手型 　　 　　 ８８ 基础夯实练· 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 四川数学 易错警示 “△１与△２相似”和“△１∽△２”的区别 当两个三角形用符号“∽”连接时，它们的对应顶点、对应边、对应角都是唯一确定的； 当用“△１与△２相似”表达时，两个三角形的顶点、边、角的对应关系不确定，此时需要 进行分类讨论，以免漏解． ６．相