专项训练6 圆的综合题专练-【一战成名新中考】2024江西中考数学·分层作业本

分层作业本·江西数学 第 六 章 圆 ★专项训练六　圆的综合题专练 　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３江西２０题８分）如图，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝４，∠Ｃ＝６４°，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ与 ＡＣ 相交于点Ｄ，Ｅ为 ) ＡＢＤ上一点，且∠ＡＤＥ＝４０°． （１）求 ) ＢＥ的长； （２）若∠ＥＡＤ＝７６°，求证：ＣＢ为⊙Ｏ的切线． 第１题图 （１）解：连接ＥＯ，如解图，∵∠ＡＤＥ＝４０°， ∴∠ＡＯＥ＝２∠ＡＤＥ＝８０°， ∴∠ＥＯＢ＝１８０°－∠ＡＯＥ＝１００°， ∵ＡＢ＝４， ∴⊙Ｏ半径长是２， ∴ ) ＢＥ的长＝１００π×２１８０ ＝ １０π ９； （２）证明：∵∠ＥＡＢ＝１２∠ＥＯＢ＝５０°， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ－∠ＥＡＢ＝７６°－５０°＝２６°， ∵∠Ｃ＝６４°，∴∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－（∠Ｃ＋∠ＢＡＣ）＝９０°， ∴ＡＢ⊥ＢＣ， 又∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径， ∴ＣＢ为⊙Ｏ的切线． ２．如图，线段 ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点 Ｃ，Ｅ在⊙Ｏ 上，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，连接ＢＥ，弦ＢＥ与线段 ＣＤ相交于点Ｆ，ＣＦ＝ＢＦ，∠ＢＥＣ＝∠ＤＣＢ． （１）求证： ) ＢＣ＝ ) ＣＥ； （２）若ｃｏｓ∠ＡＢＥ＝４５，在 ＡＢ的延长线上取一 点Ｍ，使ＢＭ＝４，⊙Ｏ的半径为６，求证：直 线ＣＭ是⊙Ｏ的切线． 第２题图                                                                     ３１１ 分层作业本·江西数学 第 六 章 圆 ３．（２０２３宿迁）（１）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ 与⊙Ｏ交于点 Ｆ，弦 ＡＤ平分∠ＢＡＣ，点 Ｅ 在 ＡＣ上，连接 ＤＥ、ＤＢ，　　　　．求证： 　　　　； 从①ＤＥ与⊙Ｏ相切；②ＤＥ⊥ＡＣ中选择一 个作为已知条件，余下的一个作为结论，将 题目补充完整（填写序号），并完成证明 过程； （２）在（１）的前提下，若 ＡＢ＝６，∠ＢＡＤ＝３０°， 求阴影部分的面积． 第３题图 解：（１）①（答案不唯一），②（答案不唯一）； 证明：如解图，连接ＯＤ， ∵ＤＥ与⊙Ｏ相切于点Ｄ，∴∠ＯＤＥ＝９０°， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＢ， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＤＯ， ∴∠ＥＡＤ＝∠ＡＤＯ，∴ＡＥ∥ＤＯ， ∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＯＤＥ＝９０°，∴ＤＥ⊥ＡＣ； （２）如解图，连接ＯＦ，ＤＦ， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°， ∵ＡＢ＝６，∠ＢＡＤ＝３０°， ∴ＢＤ＝１２ＡＢ＝３，ＡＤ＝槡３ＢＤ＝３槡３， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＢ＝３０°， 在Ｒｔ△ＡＥＤ中，ＤＥ＝１２ＡＤ＝ ３槡３ ２，ＡＥ＝槡３ＤＥ＝ ９ ２， ∵∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＢ＝３０°， ∴∠ＤＯＢ＝２∠ＤＡＢ＝６０°，∠ＤＯＦ＝２∠ＥＡＤ＝６０°， ∵ＯＤ＝ＯＦ，∴△ＤＯＦ是等边三角形， ∴∠ＯＤＦ＝６０°，∴∠ＯＤＦ＝∠ＤＯＢ，∴ＤＦ∥ＡＢ， ∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＯＤＦ， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＥＤ－Ｓ扇形ＤＯＦ＝ １ ２ＡＥ·ＤＥ－ ６０π×３２ ３６０ ＝ １ ２× ９ ２× ３槡３ ２ － ３π ２ ＝ ２７槡３ ８ － ３π ２ ＝ ２７槡３－１２π ８ ， ∴阴影部分的面积为２７槡３－１２π８ ． ４．（２０２２江西１９题８分）课本再现 （１）在⊙Ｏ中，∠ＡＯＢ是 ) ＡＢ所对的圆心角，∠Ｃ 是 ) ＡＢ所对的圆周角，我们在数学课上探索 两者之间的关系时，要根据圆心 Ｏ与∠Ｃ 的位置关系进行分类．图①是其中一种情 况，请你在图②和图③中画出其他两种情 况的图形，并从三种位置关系中任选一种 情况证明∠Ｃ＝１２∠ＡＯＢ； 知识应用 （２）如图④，若⊙Ｏ的半径为２，ＰＡ，ＰＢ分别与 ⊙Ｏ相切于点 Ａ，Ｂ，∠Ｃ＝６０°，求 ＰＡ 的长． 图① 图② 图③ 图④ 第４题图 解：（１）其他两种情况的图形如解图①和解图②； 若选择“圆心Ｏ在∠Ｃ的一条边上”这种情况，如题 图①，∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠Ａ＝∠Ｃ， ∴∠ＡＯＢ＝∠Ａ＋∠Ｃ＝２∠Ｃ，∴∠Ｃ＝１２∠ＡＯＢ； （２）如解图③，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＰ， ∵∠Ｃ＝６０°，∴∠ＡＯＢ＝２∠Ｃ＝１２０°， ∵ＰＡ，ＰＢ分别与⊙Ｏ相切于点Ａ，Ｂ， ∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０°，∠ＡＰＯ ＝∠ＢＰＯ ＝ １ ２∠ＡＰＢ＝ １ ２×（１８０°－１２０°）＝３０°， ∵ＯＡ＝２，∴ＯＰ＝２ＯＡ＝４，∴ＰＡ＝ ４２－２槡 ２＝２槡３                                  