6.1 圆的基本性质(含垂径定理)-【一战成名新中考】2024江西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·江西数学 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　第六章　圆 命题点１　圆的基本性质（含垂径定理）（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念； ２．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 要点归纳 １．圆的有关概念与性质 圆 （１）平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个 端点形成的图形叫作圆．如图，固定的端点 Ｏ称为圆心，线 段ＯＡ称为半径； （２）圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组 成的图形，定点就是圆心，定长就是半径 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，同圆或等圆的半径①　相等　 弦 （１）连接圆上任意两点的线段叫作弦．如图，线段ＡＢ，ＡＣ； （２）经过②　圆心　的弦叫作直径，在圆的所有弦中， ③　直径　是最长的弦．如图，线段ＡＢ 弧 圆上任意两点 间的部分叫作 圆弧，简称弧 （１）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫作半圆．如图，半圆ＡＢ； （２）大于半圆的弧叫作④　优弧　．如图， ) ＡＢＣ； （３）小于半圆的弧叫作⑤　劣弧　．如图， ) ＡＣ； （４）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作 等弧 圆心角 顶点在⑥　圆心　的角叫作圆心角．如图，∠ＡＯＣ，∠ＢＯＣ 圆周角 顶点在⑦　圆上　 ，两边分别与圆还有另一个交点，这样的角叫 作圆周角．如图，∠ＢＡＣ 圆的 对称性 （１）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线； （２）圆是中心对称图形，它的对称中心为圆心 圆的旋 转不变性 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 ２０１ 基础夯实练·江西数学 易错警示：（１）圆上任意一条弦对应两段弧； （２）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，一个圆有无数条直径和半径； （３）半圆是弧（注意一定不能带直径），但弧不一定是半圆； （４）等弧只存在于同圆或等圆中，指的是能够完全重合的弧． ２．弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧　相等　，所对的 弦⑨　相等　．如图，若∠ＡＯＢ＝⑩　∠ＣＯＤ　，则 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，ＡＢ ＝瑏瑡　ＣＤ　 推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别瑏瑢　相等　，即“知 一推二”．如图，若 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，则∠ＡＯＢ＝瑏瑣　∠ＣＯＤ　，ＡＢ＝ＣＤ； 若ＡＢ＝瑏瑤　ＣＤ　，则∠ＡＯＢ＝瑏瑥　∠ＣＯＤ　， ) ＡＢ＝ ) ＣＤ ３．垂径定理及其推论 （１）定理：垂直于弦的直径瑏瑦　平分　弦，并且瑏瑧　平分　弦所对的两条弧； 图１ （２）推论：平分弦（不是直径）的直径瑏瑨　垂直　于弦，并且瑏瑩　平分　弦所 对的弧． “知二推三”———如图１，根据圆的对称性，有以下五个结论：①ＣＤ是⊙Ｏ 的直径；②ＡＢ⊥瑐瑠　ＣＤ　；③ＡＥ＝瑐瑡　ＢＥ　；④ ) ＡＣ＝ ) ＢＣ；⑤ ) ＡＤ＝ 瑐瑢　 ) ＢＤ　．只要满足其中两个，  另外三个结论一定成立． ４．垂径定理的应用 （１）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角形，运 图２ 用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算． （２）确定一条弧所在圆的圆心 如图２，确定 ) ＡＢ所在圆的圆心．作法：在 ) ＡＢ上取一点 Ｃ， 作ＡＣ，ＢＣ的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为 ) ＡＢ所在圆的圆心． （３）求圆内两条平行弦间的距离时，需要分情况讨论： 已知弦ＡＢ、弦ＣＤ、⊙Ｏ的半径长，若ＡＢ∥ＣＤ，求两条弦之间的距离ｄ 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 ３０１ 基础夯实练·江西数学 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求出 ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ－ＯＥ 利用勾股定理，在Ｒｔ△ＯＢＥ中求出ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ＋ＯＥ （４）点在圆上运动时，相关计算需要分情况讨论： 如图，根据圆的轴对称性，⊙Ｏ上到直径ＡＢ距离相等的点（０＜ｄ＜ｒ）的个数为４，设⊙Ｏ的 半径为ｒ，ＯＤ＝ｍ，ＣＤ＝ｈ 情况一：当点Ｄ在圆心左侧时 情况二：当点Ｄ在圆心右侧时 ＡＤ＝ｒ－ｍ，ＡＣ２＝（ｒ－ｍ）２＋ｈ２ ＡＤ＝ｒ＋ｍ，ＡＣ２＝（ｒ＋ｍ）２＋ｈ２ 随堂练习 （人教九上Ｐ８３练习１改编）如图，⊙Ｏ的直径ＡＢ为１０ｃｍ，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为点Ｅ，连接ＯＣ， ＯＤ，ＡＣ． （１）有以下结论