【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题三 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·51· 专题三 三角函数与平面向量 第 2 讲 三角变换与解三角形 总序 7 考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结 合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综 合考查． 热点一 三角变换 例 1 (1)已知 sin(α＋ π 3 )＋sin α＝－ 4 3 5 ，－ π 2 <α<0，则 cos(α＋ 2π 3 )＝________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)设 α∈(0， π 2 )，β∈(0， π 2 )，且 tan α＝ 1＋sin β cos β ，则 2α－β＝________. 思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和 cos(α＋ 2 3 π)进行比较． (2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1) 4 5 (2) π 2 解析 (1)∵sin(α＋ π 3 )＋sin α＝－ 4 3 5 ，－ π 2 <α<0，∴ 3 2 sin α＋ 3 2 cos α＝－ 4 3 5 ， ∴ 3 2 sin α＋ 1 2 cos α＝－ 4 5 ，∴cos(α＋ 2π 3 )＝cos αcos 2π 3 －sin αsin 2π 3 ＝－ 1 2 cos α－ 3 2 sin α＝ 4 5 . (2)由 tan α＝ 1＋sin β cos β 得 sin α cos α ＝ 1＋sin β cos β ，即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin( π 2 －α)． ∵α∈(0， π 2 )，β∈(0， π 2 )，∴α－β∈(－ π 2 ， π 2 )， π 2 －α∈(0， π 2 )，∴由 sin(α－β)＝sin( π 2 －α)，得 α－β＝ π 2 －α， ∴2α－β＝ π 2 . 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公 式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的 使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问 题要注意角的