四川省四川大学附属中学新城分校2023-2024学年高三下学期开学考试数学理科试卷

川大附中高2021级2023-2024学年度下期开学考试数学（理科） （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 在复平面内，若复数对应点为，则（ ） A. B. C. D. 5 2 已知集合，若，则（ ） A. 0或5 B. 0或3 C. 1或 D. 1或3 3. 满足约束条件的平面区域的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 从甲､乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：).根据数据估计（ ） A. 甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐 B. 乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐 C. 甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐 D. 乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐 5. 已知，则 “” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为 A B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　） A. B. C. D. 12. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷相应的横线上． 13. 设，由，，，…，为质数，归纳猜想为质数．该猜想______．（选填“正确”或“错误”） 14. 如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则______． 15. 若函数，，则函数的零点个数为______． 16. 设椭圆的左焦点为，点P在椭圆上且在第一象限，直线与圆相交于两点，若是线段的两个三等分点，则直线的斜率为________. 三、解答题：本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分． 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且． （1）求角B的大小； （2）若，求△ABC的面积S． 18. 某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近年人均可支配收入如下表所示，记年为，年为，…以此类推． 年份 年份代号 人均可支配收入（万元） （1）使用两种模型：①；②的相关指数分别约为，，请选择一个拟合效果更好的模型，并说明理由； （2）根据（1）中选择的模型，试建立关于的回归方程．（保留位小数） 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：，令，． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. （1）证明： （2）设二面角的平面角为，且，求的值. 20. 过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，. （1）求抛物线的方程； （2）若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值. 21. 已知，. （1）求的极值； （2）若，求实数k的取值范围. 选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做