专题02 一次函数及其应用（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题02 一次函数及其应用 考点类型 知识一遍过 （一）一次函数图像与定义 （1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0） 叫做正比例函数。 （2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点： ①解析式中自变量x的次数是1次 ②自变量x的系数为常数 ③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数 形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0） 叫做正比例函数。 （二）一次函数图像性质 （1）一次函数的图象与性质 k，b符号 k＞0 k<0 b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 （2）一次函数与坐标轴的交点坐标： ①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是， ②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)； ③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)． （三）一次函数的平移 （1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. （2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减） （四）待定系数法求解解析式 （1）关键：确定一次函数中的字母与的值。 （2）步骤： ①设一次函数表达式； ②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式； ③解关于k，b的方程或方程组； ④确定表达式。 （3）若两条直线平行，那么它们的k相等 （五）一次函数与方程、不等式关系 （1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. （2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标. （3）一次函数与不等式 ①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集 ②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集 （六）一次函数的实际应用 （1）一般步骤 ①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量的取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； ⑥做答. （2）方案问题 ①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。 ②命题角度： ★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值； ★利用一次函数进行方案选择； ★利用一次函数解决个税收取问题； ★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。 （3）最值问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 考点一遍过 考点1：正比例函数定义 典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（　　） A．正方形的周长C和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y D．正方体的体积V和棱长m 【变式2】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【变式3】（2022下·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（  ） A． 或0 B． C．0 D． 考点2：正比例函数图像性质 典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（    ） A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 【变式1】（2023上·陕西西安·八年级