专题04 回归直线方程与非线性回归方程 (典型题型归类训练)【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题04 回归直线方程与非线性回归方程(典型题型归类训练) 一、必备秘籍 1．两个变量线性相关 (1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,． ②设所求回归方程为，其中是待定参数． ③由最小二乘法得 其中，是回归方程的斜率，是截距． 3、换元法求非线性回归方程 当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 4、建立非线性经验回归模型的基本步骤 （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； （2）由经验确定非线性经验回归方程的模型； （3）通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； （4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； （5）消去新元，得到非线性经验回归方程； （6）得出结果后分析残差图是否有异常 ． 二、典型题型 题型一：线性回归 1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表： 日期 12月31日 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 8 客流量 16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3 (1)由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01） (2)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1） 参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：，． 2．（2024上·江西新余·高二统考期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 3．（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 4．（2023下·河南焦作·高二校考阶段练习）某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2015年至2021年农村居民家庭收入y（单位：万元）的数据，其数据如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021