浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

绝密★启用前 2023学年第二学期浙江省杭州二中2月开学考 高三数学试题卷 考生须知： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合,，则集合的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．等比数列满足，，则等于（ ） A．2 B．4 C． D．6 3．函数的图象大致是（ ） 4．设，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，的系数为（ ） A．60 B． C．120 D． 7．椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．若，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，为互不重合的平面，，为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，则， C．若，，，则 D．若，，则 10．有一组互不相等的样本数据，平均数为．若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 11．记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数，则______；若，则实数______． 13．设，是复数，已知，，，则______． 14．如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 16．（本小题满分15分）设函数的图象为曲线，过原点且斜率为的直线为．设与除点外，还有另外两个交点，（可以重合），记． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求的单调区间． 17．（本小题满分15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （Ⅰ）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 18．（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为．设（其中，）为拋物线上一点．过作抛物线的两条切线，，，为切点．射线交抛物线于另一点． （Ⅰ）若，求直线的方程； （Ⅱ）求四边形面积的最小值． 19．（本小题满分17分）设整数满足，集合．从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为．例如． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）记．求和的整式表达式； （Ⅲ）用含，的式子来表示． 学科网（北京）股份有杭州二中开学考·高三数学试题卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网（北京）股份有 杭州二中开学考·高三数学试题卷 第 1页（共 4页） 绝密★启用前 2023 学年第二学期浙江省杭州二中 2 月开学考 高三数学试题卷 考生须知： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条 形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、