专题03 正态分布 (典型题型归类训练)【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题03 正态分布(典型题型归类训练) 一、必备秘籍 1、正态分布 若随机变量的概率分布密度函数为对任意的,,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示. 若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布(normal dis-tribution),记为.特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布，即. 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1） 曲线在轴的上方，与轴不相交。 （2）曲线是单峰的，它关于直线对称. （3）曲线在处达到峰值 (最高点) （4）当无限增大时，曲线无限接近轴. （5）轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 2、正态分布的原则 二、典型题型 题型一：正态密度函数 1．（2021·陕西宝鸡·统考三模）某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据绘制的频率分布直方图. （1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布，其分布密度函数为，其中为样本平均值.若的最大值为，求的值； （3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在和的人群愿意返乡创业的人数比例分别为和.从样本人群收入在的人中随机抽取3人进行调查，设为愿意返乡创业的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 2．（2018·高二课时练习）正态总体当时的概率密度函数是 (1)证明是偶函数; (2)求的最大值; (3)利用指数函数的性质说明的增减性. 3．（2014·高二课时练习）已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在上是减函数，且. (1)求概率密度函数； (2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？ 题型二：标准正态分布的应用 1．（2023·全国·高二课堂例题）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 2．（2022·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 3．（2022·四川成都·石室中学校考三模）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． (i)利用直方图得到的正态分布，求； (ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)． 参考数据：，，，，.若，则，，. 4．（2021·广东深圳·统考二模）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的