专题02 专题02 超几何分布 (典型题型归类训练)【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题02 超几何分布(典型题型归类训练) 一、必备秘籍 1、超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ， 其中，，，，，，，则称随机变量服从超几何分布． 2、公式 中个字母的含义 —总体中的个体总数 —总体中的特殊个体总数(如次品总数) —样本容量 —样本中的特殊个体数(如次品数) 注意： (1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”； (2) 不放回抽样； (3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围. 二、典型题型 题型一：超几何分布的概率问题 1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）. (1)已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值； (2)当取到最大值时，求的值. 2．（2023·上海普陀·统考一模）我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. (1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； (2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 3．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率． 4．（2022上·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差 1．（2024上·山东德州·高二统考期末）为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下： 班级代号 1 2 3 4 5 6 7 8 需看护学生人数 20 22 27 30 25 23 32 21 (1)若将上述表格中人数低于人的班级两两组合进行看护，求班级代号为、的两个班合班看护的概率； (2)从已抽取的个班级中随机抽取个班，记个班中需要课后看护的学生人数低于人的班级数为，求的分布列及数学期望． 2．（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示． (1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）； (2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望． 3．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图： (1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训． （ⅰ）记这3人中进