（压轴题特训）2024年高考数学数列专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学数列专题练习 1．已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 2．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 3．已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的正整数的最大值． 4．已知正项数列满足，数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．已知数列的前项和，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)设数列的前项和为，且，求； (3)设数列满足：．证明：． 6．已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：． 7．已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 (1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”； (2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 8．若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. (1)若具有性质“”，且，，，求； (2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； (3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 9．已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 10．设等比数列满足，. (1)求数列的通项公式和； (2)如果数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”. （ⅰ）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （ⅱ）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值. 11．设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 12．已知数列满足，（）． (1)求，及的通项公式； (2)若数列满足且，（），记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立． 13．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 14．对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． (1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② (2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； (3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)135 【分析】（1）利用累加法可得答案； （2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 可得 ， 即； （2）， 当n为偶函数，， ， ，∴， 则，，…，满足题意， ，， ∴，，，，满足题意， ∴A中所有元素和为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是分、求和，再求满足条的. 2．(1)或（）． (2)①3036；② 【分析】（1）根据带除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除； （2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意（mod3），所以或（），即或（）． （2）由（1）可得为，所以． ①因为（），所以． ． ②（）． 因为， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解． 3．(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）先利用分组求和法求出，再建立不等式，构造新的数列并判断其单调性即可得解. 【详解】（1）由，① 当时，，解得（舍去）， 当时，，② 由①②得，即， 因为，所以， 当时，由，得，矛盾， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所