（压轴题特训）2024年高考数学三角函数与解三角形专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学三角函数与解三角形专题练习 1．如图是函数图象的一部分.    (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 2．已知函数，函数为奇函数，其中，. (1)求的值； (2)用表示，中的最小者，记为，请讨论在内的零点个数. 3．设，函数，. (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个零点，，试证明：. 4．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”． (1)试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由． 5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.    (1)求，，，的值； (2)若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值； (3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值. 6．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 7．已知函数（且），点在其图象上. (1)若函数有最小值，求实数的取值范围； (2)设函数，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围. 8．已知函数，． (1)若的最小值为，求实数的值； (2)当时，若，，都有成立，求实数的取值范围． 9．中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. 比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心； (2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值； (3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由. 10．已知函数（，），当时，取得最大值为1，当时，取得最小值为，且在区间上单调递减． (1)求的解析式并且作出在区间的图象； (2)当时，函数恰有三个不同的零点（），求： ①实数a的取值范围； ②的取值范围． 11．已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”. (1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； (2)证明：函数在上为“伴和函数”； (3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围. 12．已知函数 (1)已知函数，若方程在上有四个不相等的实数根，求：实数的取值范围； (2)若函数的定义域为，求：函数的最值； (3)，不等式恒成立，求：实数的取值范围. 13．已知二次函数满足： (1)求的解析式； (2)求的单调性与值域（不必证明）； (3)设，若，求实数的值． 14．函数，最大值为，最小值为. (1)设，求； (2)设，若对恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，分析可知，关于的方程在上有解，令，由参变量分离法可得，求出函数在上的值域，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，则， 因为，则，所以，，解得， 所以，. （2）解：由 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数，则， 所以，，解得，故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函