（压轴题特训）2024年高考数学平面向量专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学平面向量专题练习 1．记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 2．设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值. 3．如图，在梯形中，，点为的中点．    (1)求与夹角的余弦值； (2)以为圆心为半径作圆，点是劣弧（包含两点）上的一点，求的最小值． 4．如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．    (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围． 5．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.    (1)若D是BC中点，求； (2)若点P满足， ①求的取值范围； ②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值. 6．已知向量，，令 (1)设，当时，求函数的最小值； (2)在（1）的条件下，若对任意的实数m，n且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 7．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.    (1)求边BC的长度； (2)设，，，当时，求k的值. 8．在中，，为所在平面内的两点，，，，，， (1)以和作为一组基底表示，并求； (2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 9．设非零向量，，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 10．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．    (1)证明： (2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值． 11．已知向量，，函数，． (1)求函数的最小正周期、值域； (2)对任意实数，，定义，设，，a为大于0的常数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围． 12．设平面向量、的夹角为，．已知，，． (1)求的解析式； (2)若﹐证明：不等式在上恒成立． 13．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．    (1)求边的长度； (2)若，求的余弦值； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合新定义设，列式化简可得，即可得答案； （2）先证明中向量都是共线向量，设，根据集合新定义推出，，可得，结合为共线向量，推得，即可证明结论. 【详解】（1）设，由得， 即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故中的三个元素为； （2）先证明中向量都是共线向量， 不妨设， 因为，所以中至少有一个不为0， 若，记， 显然，即，故， 任取，因为，所以， 故，则， 故，则，则问题得证； 若，同理可证明，其中； 故综合上述中向量都是共线向量， 因为，所以不妨设， 则由定义知，即，同理， 故，则， 同理可得，故为共线向量， 即存在实数，使，即， 因为，所以，所以， 记，则， 即一定存在实数，且，使得. 【点睛】难点点睛：本题考查了集合的新定义问题，解答时要注意理解新定义，并能根据该定义去解决问题，难点在于第二问的证明，解答时要首先证明中向量都是共线向量，然后推出，结合为共线向量，推得，即可证明结论. 2．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、三角形面积公式运算即可得解. 【详解】（1）解： 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为. （2）解： 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于、两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到