（压轴题特训）2024年高考数学平面解析几何专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学平面解析几何专题练习 1．已知点在椭圆上，且点Q到椭圆C两焦点的距离之和为. (1)求椭圆C的方程； (2)设圆上任意一点P处的切线l交椭圆C于，两点，求证：. 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，且，过点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)已知抛物线，若直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 3．已知椭圆过点，且离心率为，过右焦点的直线交椭圆于、两点，直线交轴于，过、分别作的垂线，交于、两点，为上除点的任一点． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)设直线、、的斜率分别为、、，求的值． 4．设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆C的短轴长为，离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于A、B两点，请问的内切圆E的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由． 5．在圆上任取一点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足． (1)求的轨迹的方程； (2)设，延长交于另一点，过作的垂线交于点，判断与的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 6．在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 7．已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点． 8．已知椭圆的离心率为，点在上，的长轴长为. (1)求的方程； (2)已知原点为，点在上，的中点为，过点的直线与交于点，且线段恰好被点平分，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由. 9．椭圆：的离心率，短轴的两个端点分别为、（位于上方），焦点为、，四边形的内切圆半径为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于M、N两点（M位于P与N之间），记、的面积分别为、，令，，求的取值范围. 10．已知在平面直角坐标系中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1. (1)求点的轨迹方程并说明它是什么图形； (2)记的轨迹为曲线，，当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分，且不与轴垂直或是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值. 11．在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆交于两点，求面积的取值范围. 12．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：为定值； (2)设直线的斜率为，证明：为定值． 13．设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点． (1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率； (2)若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围． 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据直线与圆相切得到的关系，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量的数量积运算求证；当直线的斜率不存在时，根据对称性得的坐标，计算． 【详解】（1）由题知：解得 ∴椭圆C的方程为：. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ∵直线与圆相切，∴，即， 联立整理可得， ∴， 解得或， ∴，， ∴ ， ∴，即； 当直线的斜率不存在时，根据对称性得的坐标分别为： ，或，， 此时有或， ∴， 综上知. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2．(1) (2) 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆上的点，求出，得椭圆标准方程； （2）由点到直线的距离，比较两个三角形的高，由弦长公式比较两个三角形的底，求出直线斜率得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，离心率，得， 不妨设，则，则， 解得，故，则椭圆的方程为. （2）为的中点，到的距离为到距离的一半， ，. 当