（压轴题特训）2024年高考数学空间向量与立体几何专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学空间向量与立体几何专题练习 1．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 3．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 4．已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为，中点． (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值． 5．如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 6．长方体中，，是对角线上一动点（不含端点），是的中点. (1)若，求三棱锥体积； (2)平面与平面所成角的余弦值，求与平面所成角的余弦值. 7．在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.    (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 8．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为． (1)写出坐标平面的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由； (2)已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）； (3)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值． 9．如图，在四棱锥中，，．    (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值． 10．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点. (1)求证：； (2)棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 11．对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． (1)已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； (2)设，，求证：； (3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 12．如图①，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点． (1)求证：三棱锥的体积是定值； (2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由； (3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 根据以上定义及性质解决如下问题： 如图②中，M为线段的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面． ①判断截面的形状，并说明理由； ②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置． 13．如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； (3)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 14．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，推导出二面角为直角，结合面面垂直的定义可证得结论成立； （2）假设存在，使得直线平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，将的坐标用的表达式表示，设，可得出关于、的方程组，解之可得出结论. 【详解】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面. 连接、，则是中点，是中点， 所以平面与平面重合，平面与平面重合，