（压轴题特训）2024年高考数学集合与常用逻辑用语专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学集合与常用逻辑用语专题练习 1．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 2．已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 3．给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 4．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 5．对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 6．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 7．设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 8．设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”： ①； ②，，； ③，且C中的最小元素大于B中的最小元素； ④，，，必有，，. (1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知A，B，C是“无和划分”（）. （i）证明：对于任意m，，都有； （ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 9．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 10．已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于． (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)求证：； (3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列． 11．已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中. 例如. (1)若，，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）； (3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由. 12．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得. （2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 2．(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 3．(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2) (3