（压轴题特训）2024年高考数学函数与导数专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学函数与导数专题练习 1．设函数，. (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)已知直线与曲线、分别切于点、，其中 ①求证：； ②已知对任意恒成立，求的取值范围． 2．已知函数在上为奇函数，. (1)求实数m的值； (2)存在，使成立. （i）求t的取值范围； （ii）若恒成立，求n的取值范围. 3．已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有2个极值点，求证：. 4．已知函数． (1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围． 5．已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 6．已知函数，其中． (1)若的极小值为，求单调增区间； (2)讨论的零点个数． 7．二次函数的最大值为，且满足，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：． 8．已知函数． (1)当时，讨论的单调性（不必给出证明）； (2)当时，求的值域； (3)若存在，，使得，求的取值范围． 9．已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数的图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围； (3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 11．己知函数． (1)判断的奇偶性； (2)己知，都有，求实数a的取值范围． 12．设函数，． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：． （参考数据：，） 13．已知函数和函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由； (3)当时，求函数的最大值. 14．已知函数． (1)若，且图象关于对称，求实数的值； (2)若， （i）方程恰有一个实根，求实数的取值范围； （ii）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用参变量分离法可得出，其中，利用导数分别求出函数的最大值、函数的最小值，即可得出实数的取值范围； （2）①利用导数的几何意义可得出直线两种不同的方程，可得出，整理可得出，构造函数，其中，求出的取值范围，再由可证得结论成立； ②由可得，设，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得，结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由已知可得，其中， 设，其中，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，； 令，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，， 综上所述，实数的取值范围是. （2）证明：①因为，，则，， 所以，直线可表示为，即， 直线的方程也可表示为，即， 故有，所以，， 所以，，即， 设，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 又因为，，所以，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 因为，则，， 所以，函数在上无零点， 因为，所以，存在，使得， 所以，，则； 解：②由①可知，，当时，， 由可得， 设，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 所以，， 所以，，解得， 故实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 2．(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解. （2）（i）由复合函数单调性得在上单调递减，结合奇函数性质得，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为恒成立，通过换元法即可求解. 【详解】（1）由题意函数在上为奇函数， 所以， 因为，所以解得，经检验符合题意. （2）（i）由（1）得在上为奇函数， 显然在上单调递增，在上单调递减， 所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以 ， 即， 因为，所以，所以； （ii）由（2）（i）得，所以， 若恒成立， 则恒成立， 所以当，即时，， 所以n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于的函数方程，由此即可顺利得解. 3．(