（压轴题特训）2024年高考数学等式与不等式综合专题练习

（压轴题特训）2024年高考数学等式与不等式综合专题练习 1．已知（a，），且为奇函数， (1)求a，b的值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 2．已知函数，. (1)解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围. 3．已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围. 4．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，证明：函数在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 5．已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，与轴交于点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若，求面积取得最大值时椭圆的方程. 6．已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 7．已知定义在上的函数． (1)当时，解关于的不等式：； (2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围． 8．已知函数；． (1)解关于的不等式； (2)对恒成立，求实数的取值范围． 9．已知函数. (1)若函数，且是增函数，求实数的取值范围； (2)若对任意的正数，不等式恒成立，求的取值范围． 10．已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 11．已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数. (1)从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 12．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． (1)记，求证：为型函数； (2)设，记，若是型函数，求的取值范围； (3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 13．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 14．已知函数. (1)解方程； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）将问题转化为恒成立，再利用两次换元法，结合基本不等式求得的最小值，从而得解. 【详解】（1）由题意，，即， 又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称， 则必有，得， 故的定义域为， 因为为奇函数，所以，即，， 验证：当，时，，定义域为， 而， 所以是奇函数， 综上：，. （2）由（1）知，，， 由有意义，得，故， 因为，所以恒成立， 设， 令，则，即， 再令，则，， 得， 因为，当且仅当时“＝”成立， 所以， 故，可得， 所以实数m的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 2．(1)； (2). 【分析】（1）利用对数运算及换底公式变形函数，换元并结合二次不等式求解即得. （2）求出函数在上的值域，再分类探讨函数在上的值域，借助集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）函数， 由，得，令，则不等式可化为：， 整理得，解得或， 即或，解得或， 所以原不等式的解集是. （2）当时，，， 因此函数的值域是，依题意，是函数，值域的子集， 当时，函数在上单调递增，， 有，则，解得，于是； 当时，函数在上单调递减，， 有，则，无解，不存在符合条件的实数a； 当时，（表示数中最大者）， 由，得，与矛盾，由，得，与矛盾， 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 3．(1)； (2)． 【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，得出其取值范围后可得函数值域； （2），使得 因此，因此只要分别求得在各自范围内的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】（1）由题意， ，当且仅当即时等号成立， 所以，从而， 所以的值域是； （2）若，使得 因此， ．，则， 所以时，， 由（1）知当时，时，， ，解得， 当时，,易知函数为偶函数， 结合对勾函数性质知