精品解析：湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

2023-2024学年湖南省株洲市第二中学高三年级下学期开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 1或3 3. 已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ） A. B. C. D. 4. 将个和个随机排成一行，则个不相邻的情况有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A. B. C. D. 7. 已知函数，设，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ） A. 可能是实数 B. 恒成立 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 11. 设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ). A. 若，则 B. 若，且，则且 C. 若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为 D. 若，且，则和均是的最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__． 13. 已知圆锥底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为______. 14. 已知正实数满足则当 取得最小值时，______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自年月日起至月日在全省实施景区门票减免，全省国有级旅游景区免首道门票，鼓励非国有级旅游景区首道门票至少半价优惠本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为某市旅游局从游客中随机抽取人其中年龄在周岁及以下的有人了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄周岁及以下和周岁以上分类统计得到不完整的列联表：单位：人 年龄 满意度 合计 不满意 满意 周岁及以下 周岁以上 合计 （1）根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联． （2）现从本市游客中随机抽取人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中． 附： 16. 如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆周的一条弦交于点，其中，． （1）证明：平面平面． （2）在上底面圆周上是否存在点，使得二面角正弦值为若存在，求的长若不存在，请说明理由． 17. 已知椭圆，、两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，是椭圆的右焦点，，直线与椭圆相切与（在第一象限），与轴相交于（异于），记为坐标原点，若是等边三角形，且的面积为， （1）求椭圆的标准方程； （2）、两点均在直线：，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点，点，若、关于原点对称，求最小值 18. 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） （1）求需要建造的桥墩的个数； （2）已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 19. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上严格增函数； （2）已知，且对任意，当时，有