【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题五 立体几何 第1讲 空间几何体（热点分类突破+真题感悟+突破训练，pdf版）

·91· 专题五 立体几何 第 1 讲 空间几何体 总序 12 考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算．(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问 题． 热点一 几何体的表面积和体积 例 1 (1)如右图，已知正四棱锥 S－ABCD 所有棱长都为 1，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记 SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为 V(x)，则函数 y＝V(x)的 图象大致为________． (2)如图，斜三棱柱 ABC—A′B′C′中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b， 侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角，求此斜三棱柱的表面积． 思维启迪 (1)利用 V(x)解析式观察对照；(2)作辅助线． (1)答案 ① 解析 ①当 0<x< 1 2 时， 过 E 点的截面为五边形 EFGHI(如图 1 所示)，连结 FI， 图 1 图 2 由 SC 与该截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI. ∴EF＝EI＝SEtan 60°＝ 3x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝ 2AH＝2 2x， ∴五边形 EFGHI 的面积 S＝FG×GH＋ 1 2 FI× EF2－ 1 2 FI2＝2 2x－3 2x2， ∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝ 1 3 (2 2x－3 2x2)×CE＋2× 1 3 × 1 2 ×1×(1－2x)× 2 2 (1－2x)＝ 2x3－ 2x2＋ 2 6 ， 其图象不可能是一条线段，③④不对． ·92· ②当 1 2 ≤x<1 时，过 E 点的截面为三角形，如图 2，设此三角形为△EFG， 则 EG＝EF＝ECtan 60°＝ 3(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)， 三棱锥 E－FGC 底面 FGC 上的高 h＝ 2 2 (1－x)，∴V(x)＝ 1 3 × 1 2 CG·CF·h＝ 2 3 (1－x)3， ∴V′(x)＝－ 2(1－x)2，又显然 V′(x)＝－ 2(1－x)2在区间( 1 2 ，1)上单调递增，∴V′(x)<0，x∈( 1 2 ，1)， ∴函数 V(x)＝ 2 3 (1－x)3在区间( 1