上海实验学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

上海实验学校高三开学考数学试卷 2024.02 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分】 1.已知集合A=1,23,4},B={x|-1<x<3},则AUB= 2.抛物线y2=2pr(p>0)过点P(3,3),则点P到抛物线准线的距离为 3.复数z满足(3-i)z=5i(1为虚数单位)，则川z= 2 4.若正数x、y满足x+二=4，则产的最大值为 5.若圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为 6.已知(x+a)x-1)7=an+a,x+a,x2+…+ax,且a=13,则a= 7.某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导， 若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导 方案数为 8.高三年级某8位同学的体重分别为90、100、110、120、140、150、150、160（单位：kg), 现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百 分位数的概率是 9.已知a、b均为单位向量，且|a-2b=2,则a与b-a的夹角为 1x2-x+1,x≤0 10.已知曲线C:y= ，点P、Q是曲线C上任意两个不同点，若 2+L,x>0 ∠POQ≤0，则称P、Q两点心有灵犀，若P、Q始终心有灵犀，则0的最小值0，的正切值 tan 11.已知数列{an}:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8…,其中第一项是2°，接下来的两项是2°，2，再接 下来的两三项是2”，2,2，…，以此类推，则下列说法正确的是 (1)第10个1出现在第46项： (2)该数列的前55项的和是1012： (3)存在连续六项之和是3的倍数： (4)满足前n项之和为2的整数幂，且n>100的最小整数n的值为440 12.已知函数f(x)=x(e-2a)-lnx的最小值为0，则a的值为 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13.上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相 同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判自己是否能进入决 赛，他还需要知道21名同学成绩的() A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 14.将函数y=sin(4x+)的图像上的各点的纵坐标 3 不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移 个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ 6 A.(Z.0) B.(E.0) D.(5,0 6 15.如图，三棱柱ABC-AB,C满足棱长都相等，且AA⊥平面ABC,D是棱CC,的中点， E是棱AA上的动点，设AE=X,随着x增大，平面BDE与底面ABC所成钝二面角的平 面角是() A.减小 B.先减小再增大 C,先增大再减小 D.增大 16.已知0<x<x2<x<4π，函数f(x)=sinx在点(x,sinx)(i=l,2,3)处的切线 均经过坐标原点，则() A.tan tanx B.tan飞>tanx C.+x<2x2 D.+>2x2 三.解答题（本大题共有5题，满分76分】 17.已知函数f)=sin(2x+5匹)-cos2x+1. 6 (1)求函数f(x)的最小值和单调增区间： 2》设角小C为△BC的三个内角，若coB=号f匀=- 求sinA. 18.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，E、F分别为BB、AC的中点. (1)求证：BF∥平面AEC: (2)求证：平面A,EC⊥平面ACCA B 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2”=2an+1, (1)求数列{a,}的通项公式：(2)求数列+(-1)1.3"}(n∈N)的前n项和T 20.在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(0,1)和(0，-1)，设△ABM的面积为 S,内切圆半径为，当三=3时，记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)已知点E、F、P、Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A,记EF、PQ的斜率分别 为k、k (i)设EF的中点为G,PQ的中点为H,证明：存在唯一常数元，使得当kk,=入时， OG⊥OH: 血若。于，当EF=PO最大时，求四边形FPO的面奥 21.已知函数f(x)=(x-a)c (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)设x、x分别为fx)的极大值点和极小值点，记A(x,f(x)》、B(x2,f(x)》 证明：直线AB与曲线y=∫(x)交于另一点C: (3)在(2)的条件下，判断是否存在常数元∈(n,n+I)(n∈N”),使得|AB=元|BC|, 若存在，求出n的值，若不存在，说明理由. 参考答案 一.填空题 1.(-1,3U{4 2 15 3.i0 4.2 5.16V -T 4 2 81 6.2 7.36 8. 25 6 56 9.