湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2021届高三第二次模拟考试数学试卷

2021届高三高考第二次模拟考试数学 （试题卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 （满分：150分，时间：120分钟） 一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意) 1．已知集合，，则 （    ） A． B． C．， D．，0， 2．若为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知是偶函数，则的值是（   ） A． B． C． D．2 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例： 用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（       ） A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群 10．已知圆，则（    ） A．圆可能过原点 B．圆心在直线上 C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为 11．在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（    ） A．在旋转过程中，点运动的轨迹长度为 B．点到平面的距离为 C．异面直线与所成的角为90° D．直线与平面所成角的正弦值为 12．已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．已知，，与的夹角为，且，则_________． 14．将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）. 15．三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为__________. 16．已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程： ， ． 四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 18．已知等差数列的前项和满足是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和. 19．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 20．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响． (1)经过一轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望； (2)若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后，甲累计得分高于乙累计得分的概率，求． 21．已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值． 22．已知函数. (1)当时，求在区间上的最