湖南省宁乡市第一高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

2021届高三高考第一次模拟考试数学 (试题卷) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 (满分:150分,时间:120分钟) 一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意) 1.已知集合,,则A∩CUB( ) A. B. C. D. 2.设复数z满足(i是虚数单位),则( ) A. B. C. D. 3.为了研究某公司工作人员人数x(单位:名)和月销售量y(单位:万元)的关系,从该公司随机抽取10名工作人员,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系。已知,,.若该公司工作人员为25名,据此估计其月销售量为( ) A.195 B.200 C.205 D.210 4.已知非零向量,满足,且向量在向量方向的投影向量是,则向量与的夹角是( ) A. B. C. D. 5.已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为,则的最小值是( ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥的底面四边形是正方形,侧棱平面,,且直线与平面所成的角的正切值为,则四棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 7.已知函数,设,,,则( ) A. B. C. D. 8.设双曲线的左、右焦点为,渐近线方程为,过直线交双曲线左支于两点,则的最小值为( ) A.9 B.10 C.14 D. 二、多选题(本大题共 4 小题,每题5分,共 20 分,每小题有多个选项符合题意,全部选对得 5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项,某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位:秒)服从正态分布,且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个,其中成绩在间的个数记为X,则( ) A. B. C. D. 10.已知函数,且,则下列说法正确的是( ) A.在上单调递增 B.的图象关于点对称 C.将的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象 D.在上的最大值为2 11.设数列的前项和为,若存在实数,使得对于任意的,都有,则称数列为“数列”.则以下数列为“数列”的是( ) A.是等差数列,且,公差 B.是等比数列,且公比满足 C. D., 12.已知函数,若函数的图象与的图象有两个不同的交点,则实数的可能取值为( ) A. B. C. D. 三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 13.将五名学生和三名老师分成三组参加志愿者服务,要求每个小组至少一名老师,至少一名学生,则不同的分组方法数是 .(答案用数字表示) 14.已知,则_. 15.在单调递增数列中,已知,,且,,成等比数列,,, 成等差数列,那么 . 16.已知椭圆离心率为,为椭圆的右焦点,,是椭圆上的两点,且.若,则实数的取值范围是_. 四、解答题(本大题共6 小题,共 70分,17题为10分,18-22每题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.记的内角的对边分别为,,,为边的中点,已知. (1)求; (2)当时,求的最大值. 18.为弘扬体育精神,营造校园体育氛围,某校组织“青春杯”3V3篮球比赛,甲、乙两队进入决赛.规定:先累计胜两场者为冠军,一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后,将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下,甲队中球员都会参赛,他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和,且每场比赛中犯规4次以上的概率为. (1)求甲队第二场比赛获胜的概率; (2)用表示比赛结束时比赛场数,求的期望; (3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上,求甲队比赛获胜的概率. 19.如图,在四棱锥中,,,四边形ABCD是菱形,,E是棱PD上的动点,且. (1)证明:平面ABCD. (2)是否存在实数,使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 20.已知正项数列前项和为, (1)求的值,并求数列的通项公式; (2)设,数列前项和为,求使不等式成立的正整数组成的集合. 21.已知在平面直角坐标系中,抛物线:的焦点为,过点的直线与交于,两点,且. (1)求的标准方程; (2)已知为轴上的点,直线与的另一个交点为,直线与的另一个交点为,当直线的斜率为1时,求点的坐标. 22.已知函数. (1)若单调递增,求的值; (2)设是方程的两个实数根,求证: