第2.4讲 三角之解三角形及其综合应用-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第2.4讲 三角之解三角形及其综合应用 ①解三角形（正、余弦定理、面积公式） ②三角形面积的最值、范围问题 ③三角形周长的最值、范围问题 ④三角形的中线问题 ⑤三角形的角平分线问题 一、正余弦定理和面积公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 三、基本不等式 ①； ② 四、三角形中线 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！ 五、三角形角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 题型一：解三角形 【例1】（单选题）内角，C的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（单选题）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【例3】（单选题）在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 一、单选题 1．（2023·四川自贡·统考一模）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（    ）. A．4 B．5 C．6 D．6或 2．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）若在中满足：则边上的高为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新疆·校联考一模）在中，角的对应边是，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（    ） A．的面积为2 B．外接圆的半径为 C． D． 三、填空题 8．（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则的面积为 . 9．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）记△的内角的对边分别为，若，，则 ． 10．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.若的面积，其外接圆半径，且，则 . 四、解答题 11．（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 12．（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）已知分别为的内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为2，求. 13．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积，求的周长. 14．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求． 15．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，，求． 【题型技巧】 正余弦定理解三角形 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 题型二：三角形面积的最值、范围问题 【例1】已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值 【例2】锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：． (1)求A； (2)求面积取值范围． 一、解答题 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一