8.2.2 两角和与差的正弦、正切（第1课时）学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版必修三　两角和与差的正弦 导学案 （原卷+答案） 【课程标准】 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　两角和与差的正弦公式 (1)Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________． (2)Sα－β：sin (α－β)＝______________________． 知识点二　辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________. 根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？ [提示]　对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”． 基 础 自 测 1．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为(　　) A． B． C． D．以上都不对 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin (α＋)＝(　　) A．－　 B． C．－　　 D． 3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　) A．　　　 B．π C．2π　　　 D．4π 4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　利用公式化简求值 例1　(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； (3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值． (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． 方法归纳 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正负相消的项，消去，求值； ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 跟踪训练1　化简下列各式： (1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)； (2)－2cos (α＋β)． 题型2　给值(式)求值 例2　(1)设α∈(，π)，β∈(，2π)，若cos α＝－，sin β＝－，求sin (α＋β)的值． (2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－且α，β均为锐角． ①求sin (2α＋β)；②求β. 跟踪训练2　已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin (－β)＋cos αcos (＋β)＝，则角β＝(　　) A． B． C． D． 方法归纳 (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值． 题型3　辅助角公式的应用 【思考探究】　(1)函数y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？ [提示]　不对．因为sin x＋cos x ＝sin x ＋cos x) ＝(sin x·cos ＋cos x·sin) ＝sin (x ＋)， 所以函数的最大值为. (2)函数y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？ [提示]　因为y ＝3sin x＋4cos x ＝5(sin x ＋cos x)， 令cos φ＝，sin φ＝， 则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝5sin (x＋φ)， 所以函数y的最大值为5. (3)如何推导a sin x ＋b cos x＝sin (x ＋φ)(tan φ＝)公式？ [提示]　a sin x ＋b cos x ＝sin x ＋cos x)， 令cos φ ＝，sin φ ＝，则 a sin x ＋b cos x ＝(sin x cos φ ＋cos x sin φ) ＝sin (x ＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ ＝确定，或由sin φ ＝和cos φ ＝共同确定)． 例3　(1)函数f(x)＝sin 2x＋c