湖北省2024届高考数学重难点模拟卷（二）

湖北省2024届高考数学重难点模拟卷（二） 一、单选题 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，点在边上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 7．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 二、多选题 9．从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（   ） A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（） A． B．为钝角 C． D．若点，在上，且为的重心，则 11．已知，函数，则（    ） A．对任意，，存在唯一极值点 B．对任意，，曲线过原点的切线有两条 C．当时，存在零点 D．当时，的最小值为1 三、填空题 12．已知，若的展开式中含项的系数为40，则 . 13．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 . 14．已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知数列满足：. （1）求的通项公式； （2）若，求. 16．已知，，且 （1）求的单调区间. （2）在中，，，的对边分别为，，，当，，，求的面积. 17．如图，在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是菱形，且，为棱上的动点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为． 18．已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点. 若直线垂直平分弦，求实数的值； 已知点，在直线上（为圆心），存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数. 19．设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解. 【详解】，得，所以， 函数中，，即，所以， ，所以. 故选：B 2．A 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】在中，，又点在边上，且， 则， 故选：A.    3．A 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 4．A 【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得. 【详解】由可得, 即数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，即； 所以， 因此 ，且当x趋近于+∞时，趋近于， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 5．C 【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数. 【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物， 则， 则15h后还剩污染物为， 所以15h后还剩污染物的百分数为. 故选：C 6．C 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以， 即且， 则， 因为，得， 因为，所以时，，则；当时，， 综上，，即的最大值为， 故选：C. 7．B 【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到，且，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值. 【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故， 而，，，故，故， 故， 设点D到平面ABC的距离为h，则，故， 点D在球的截面圆上，设截面