2024年高考数学解答题常考易错专项特训：三角函数

2024年高考数学解答题常考易错专项特训：三角函数 1．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 2．已知的三个内角分别为，，，且满足，. （1）试判断的形状； （2）已知函数，求的值． 3．已知且满足. （1）求的值； （2）的值. 4．已知关于x的方程的两个根为和， （1）求的值； （2）求m的值． 5．已知且为第三象限角． （1）求； （2）求的值． 6．已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 7．已知（）． （1）若为偶函数，求的值； （2）若的最小值为，求的对称中心． 8．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． （1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； （2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 9．设函数，，其中． （1）当时，求函数的值域； （2）记的最大值为M， ①求M； ②求证：． 10．已知是函数的一个零点. （1）求实数的值； （2）求单调递增区间. 11．在中，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：边上的高为3． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 12．已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为. （1）求角的大小； （2）求面积的最大值. 13．在中，角A，B，C的对边分别为. （1）求角的大小； （2）若的面积为. ①求a，c的值； ②求sin(2C+B)的值. 14． 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2），，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：法一：因为，所以， 整理得， 所以， 又因为，所以； 法二：因，所以，由正弦定理得 ， 整理得， 因为，所以， 又因为， 所以； （2）解：由余弦定理得，，， 所以， 所以，或（舍）， 所以的面积. 2．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 又， 得， 化简得，解得， 又，∴， ∴，∴，∴， ∴为等边三角形． （2）解： ∵ ， ∴ . 3．【答案】（1）解：因为，所以或，又，所以， 即，则 （2）解：. 4．【答案】（1）解：∵，是方程的两个实根∴， （2）解：∵， ∴，∴ ∵，∴，∴符合 ∴ 5．【答案】（1）解：由题意得，，∴（舍） （2）解：原式 6．【答案】（1）解：∵，∴， 又，， ∴， ∴ .​​​​ （2）解： ∵，， ∴，，， ∴， ∴ ​​​​ 7．【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，即，化简得， 或， 解得，，又， 所以. （2）解：由 ，由的最小值为， 则，即，又， 所以， 所以，由可知， 令，，即， 所以的对称中心为，. 8．【答案】（1）解：观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）解：①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 9．【答案】（1）解： 当时， 因为， 所以 （2）解：设，， 对称轴为，开口向上，，， 1）当时，，，所以 2）当时，，，所以 3）当时，，，所以 综上所述： ② 当时， 所以 当时， 所以 当时，，所以 综上所述：所以 10．【答案】（1）解：由题意可知，即 即， 解得. （2）解：由（1）可得 函数的增区间为.