2024年高考数学解答题常考易错专项特训：幂函数、指数函数、对数函数

2024年高考数学解答题常考易错专项特训：幂函数、指数函数、对数函数 1．已知函数的幂函数，且. （1）求函数的解析式； （2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由. 2． 已知幂函数在定义域内单调递增. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集. 3．已知函数. （1）写出函数的定义域并判断其奇偶性； （2）若，求实数的取值范围. （3）若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 4． 已知函数，， （1）若，记函数在上最大值为，最小值为，求； （2）若存在实数，，且，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 5． 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途径服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 6．已知指数函数（且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域. 7．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）若，求的值 （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 8． 已知函数，其中 （1）若的最小值为，求的值； （2）若存在，使成立，求的取值范围． 9．已知函数过原点且． （1）求k值并证明为偶函数； （2）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围． 10．已知函数 （1）当时，求的定义域和单调递减区间； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 11．已知定义在上的函数． （1）已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值； （2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 12．已知函数. （1）若，求的值. （2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值. 13．若，且． （1）求的最小值及对应的的值； （2）当取何值时，，且． 14． 如图所示，已知、、（其中）是指数函数图像上的三点． （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求关于的函数及其最大值. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由题意可得：，解得， 所以； （2）解：由（1）可得， 则函数图像开口向下，对称轴为：， 当时，函数在区间[上 单调递减， 则的最大值为，解得，符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 则的最大值为，解得，符合题意； 当时，则的最大值为， 解得，不符题意； 综上所述：存在实数满足题意. 2．【答案】（1）解：因为为幂函数，所以，解得或， 当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足题意； 当时，在上单调递增，满足题意，故. 所以. （2）解：在上单调递增，， 故，解得或，即. 3．【答案】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上偶函数 （2）解：由函数， 可得， 又由，可得， 解得， 即实数的取值范围为 （3）解：若存在使得不等式成立，即， 由，其中， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，所以，即， 所以实数的最大值为 4．【答案】（1）解：方法一 因为， 所以为奇函数 故当，时， 方法二 因为在上单调递增 所以， 所以 （2）解：因为在上单调递增， 所以 所以方程在上有2个不同的实数根 方法一 由知 令，则 因为在上单调递增，在上单调递增 又当时，，当时， 所以，即 方法二 令，则方程在上有两个不相等的实数根 则 5．【答案】（1）解：设匀速行驶速度为，耗电量为， 则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； （2）解：设匀速行驶速度为，总时间为，行驶时间与充电时间分别为. 若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即， 解得. . 当且仅当，即时取到等号 所以该汽车到达B地的最少用时为 6．【答案】（1）解：因为函数（且）的图象过点， 则，解得，因此，. （2）解：，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，，故， 所以，函数在上的值域为. 7．【答案】（1）解：函数，当时，，则函数图像恒过