2024年高考数学解答题常考易错专项特训：函数综合运用

2024年高考数学解答题常考易错专项特训：函数综合运用 一、解答题 1．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，且．证明：． 2．已知函数. （1）当时， （Ⅰ）求处的切线方程； （Ⅱ）判断的单调性，并给出证明； （2）若恒成立，求的取值范围. 3．已知函数． （1）当时，设函数的最小值为，证明：； （2）若函数。有两个极值点， 证明：． 4．已知函数是定义在R上的增函数，满足 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，求x的取值范围. 5． 已知函数 （1）当时， 求的极值； （2）若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围. 6．已知函数在时有最大值1和最小值0，设. （1）求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 7． 已知函数，且． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）解不等式． 8． 已知函数的图象经过点，． （1）求实数，的值； （2）若不等式的解集记为，求时，函数的值域． 9． 我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）若函数的图象关于点对称，证明：； （3）已知函数，其中．若正数，满足，且不等恒成立，求实数的取值范围． 10．已知幂函数（）在上是增函数，函数（）为偶函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）求当时，函数的解析式. 11．已知，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明：且. 12． 设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 13．对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称 有“漂移点” ． （1）判断函数 在 上是否有“漂移点”，并说明理由； （2）若函数 在 上有“漂移点”，求正实数 的取值范围． 14． 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． （1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． （2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 答案解析部分 1．【答案】（1）解：的定义域为，， 当时，在上恒大于0，所以在上单调递增， 当时，由，可得， 当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2）解：由题可得， 两式相减可得， 要证，即证， 即证，即证， 令，则，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，故原命题成立． 2．【答案】（1）解：当时，，可得. （Ⅰ）， 所以在处的切线方程为，即. （Ⅱ）， 设，则单调递增， 所以，即， 所以当时，单调递增. （2）解：设， 由题意恒成立. ①当时，不恒成立，不合题意； ②当时，设，， ，，， 设，，，单调递增， 由零点存在定理得，使得. 在上，，即， 所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意； ③当时，， 则， 当时，，即，则， 所以当时，单调递增. 可得：，即，所以. 综上，的取值范围为. 3．【答案】（1）解： 令，解得 当时， 当时， 令 令，解得， 当时，， 当时，， 当时，. （2）证明： 令 令，解得 当时，， 当时，， 又函数有两个极值点 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时， 又 令 令 ， 即 4．【答