精品解析：浙江省湖州市第一中学2023-2024学年高三上学期1月新高考数学模拟试题

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试模拟训练 （湖州一中测试卷） 数学试题 注意事项： ]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 4. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. 、、两两互斥 5. 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 6. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则与均为实数 B. 若与均为实数，则 C. 若均纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则均为纯虚数 10. 如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. B. 与所成的角可能是 C. 是定值 D. 当时，点到平面的距离为1 11. 已知函数为定义在上的偶函数，，且，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 以6为周期的函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为__________. 13. 已知，若存在使得，则k的最大值为________． 14. 已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 16. 在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）证明： （2）若，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为中点. （1）证明：平面； （2）当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由. 18. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 19. 悬链线原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数