[中学联盟]山东省龙口市诸由观镇诸由中学八年级数学下册鲁教版五四学制《第八章 证明（三）》测试题（3份）

特殊平行四边形的开放型问题例析 在《平行四边形》一节中，出现了一类开放型中考题，其设计新颖，别具一格，既考查了学生们的双基水平，又考查了他们灵活运用知识的能力．现以中考题为例，予以说明． 一、平行四边形问题 例1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于E，F．请写出图中三对全等的三角形： ； ； ； 请你自选其中的一对加以证明． 解析：本题是结论开放型考题． 有： ， ， ， ，[来源:Z§xx§k.Com] ， ， （只需三对即可）． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = CB，∠DAO =∠BCO，OA = OC． ∴△AOD≌△COB． 例2 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个什么条件？ ．（只需添加一个条件） 解析：本题是条件开放型问题．依据三角形全等的条件：若用 ，应添加 或 ；若用 ，应添加 ；若用 ，应添加 或 等等．[来源:学科网] 二、矩形问题[来源:Z§xx§k.Com] 例3 如图3，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（　　） Ａ．一组对边平行而另一组对边不平行 Ｂ．对角线相等 Ｃ．对角线相互垂直 Ｄ．对角线互相平分 解析：本题是条件开放型问题．由“顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形”，知四边形EFGH是平行四边形，只要能证得有一个角是直角，即可证得结论． 故应选C． 例4 如图4，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm / s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm / s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． 问：当t为何值时，四边形APQD为矩形？ 解析：本题也是条件开放型问题．若使四边形APQD为矩形，由已知AP∥DQ，∠A = 90°，因此，只要AP = DQ即可．所以，4t = 20 – t ，解得t = 4s． ∴当t为4s时，四边形APQD为矩形． 三、菱形问题 例5 如图5，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由． 解：添加的条件： ． 理由： 解析：本题也是条件开放型问题. 添加的条件：对角线相等．[来源:Zxxk.Com] 理由：连接AC和BD． ∵在△ABC中，AE = BE，BF = CF， ∴EF = AC． 同理FG = BD，GH = AC，HE = BD． 又∵AC = BD， ∴EF=FG =GH =HE． ∴四边形EFGH为菱形． 四、正方形问题 例6 如图6，△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE = DF． （2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明） 解析：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB =∠DFC．∵AB = AC，∴∠B =∠C． 又∴DB = DC，∴△DEB≌△DFC．∴DE = DF． （2）①∠A = 90°；②∠B = 45°；③DE⊥DF；④F是AC的中点等． 五、梯形问题 例7 如图7，梯形ABCD，AB//DC，AD=DC=CB，AD，BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F． （1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；[来源:学科网] （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由． 解析：（1）DG = CG；DE = BF；CF = CE；AF = AE；AG = BG． （2）证AG = BG． ∵在梯形ABCD，AB//DC，AD=DC=CB， ∴梯形ABCD是等腰梯形． ∴∠GAB =∠GBA．∴AG = BG． 附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060 O B C D （图1） A F E A B C D E F （图2） H G F E D C B A （图3） A P B C Q D （图4）