2024年中考数学二轮专题复习（全国通用版）——二次函数与几何图形综合型专题

2024年中考数学二轮专题复习（全国通用版） ——二次函数与几何图形综合型专题 题型解读 二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等. 类型一 线段问题 解法指导 1. 确定线段长 两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则AB=，也可以构造直角三角形，利用勾股定理求出.在求这类问题时首先应该明白与x轴平行的直线上点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线上点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值. 2. 线段数量关系问题 根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值） 3. 求线段最大值问题 根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型. 典例精析 ( 图1 )例1 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值. 解析：（1）将A（0，3），B代入y＝﹣x2+bx+c，得解得 所以该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3. （2）设直线AB的解析式为y＝kx+n. 将A（0，3），B代入y＝kx+n，得解得 所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3. 在y＝﹣x+3中，令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝2.所以C（2，0）. 因为PD⊥x轴，PE∥x轴，所以∠DEP＝∠ACO，∠DPE＝∠AOC=90°.所以Rt△DPE∽Rt△AOC. 所以，即=.所以PE＝PD.所以PD+PE＝PD. 设P（a，﹣a2+2a+3），则D. 所以PD＝（﹣a2+2a+3）﹣＝﹣+. 所以PD+PE＝﹣+. 因为﹣＜0，所以当a＝时，PD+PE有最大值，最大值为. 跟踪训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线y=-x2+bx+c的解析式； （2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标． ( 第1题图 ) 类型二 角度问题 解法指导 如果要证明两角相等，可通过平行线、等边对等角、轴对称或相似三角形求解；如果要构造一个45°的角，可通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90°圆心角的一半、平分直角等解决；在二倍角的问题中，可利用等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍，构造二倍角，再利用正切三角函数计算. ( 图2 )典例精析 例2 如图2，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于 A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 解析：（1）由A（﹣2，0），B（8，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x-8）. 将C（0，4）代入y＝a（x+2）（x-8），得4=-16a，解得a=-. 所以抛物线的解析式为y＝-（x+2）（x-8）=-x2+x+4. （2）①当点P在BC上方时，如图3所示. 因为∠PCB＝∠ABC，所以PC∥AB.所以C，P两点的纵坐标相等.所以点P的纵坐标为4. 将yp＝4代入y＝-x2+x+4，得4=-x2+x+4，解得x1＝0，x2＝6. 所以点P的坐标为（6，4）. 图3 图4 ②当点P在BC下方时，如图4所示. 设PC交x轴于点H.因为∠PCB＝∠ABC，所以HC＝HB． 设HC＝HB＝m，则OH＝OB﹣HB＝8﹣m. 在Rt△COH中，由勾股定理，得OC2+OH2＝CH2，即42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5. 所以OH＝3.所以H（3，0）． 设直线PC的解析式为y＝kx+n. 将C（0，4），H（3，0）代入y＝kx+n，得解得 所以直线PC的解析式为y＝-x+4. 联立解得或所以点P的坐标为. 综上，点P的坐标为（6，4）或． 跟踪训练 2.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y