精品解析：江苏省南京市金陵中学2022年初升高特长生考试数学试卷

2022金中特长生考试数学真题 1. 15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉笼子有__________个. 2. 四边形是正方形，边长为在上，则的最大值为__________. 3. 二次函数与交于两点且在的右侧，交的对称轴于点； （1）当__________时，重合； （2）当时，求取值范围. 4. （1）已知中点，过点作于，交于点，求. （2）已知，过点作于，交于点，求 （3）在（2）的条件下，为常数，求的最小值. 5. 已知是圆的切线，是直径，是弧的中点，是直线与的交点 （1），求； （2），求 6. 可以表示为数轴上1右边的点 （1）可以在平面直角坐标系中表示为__________； （2）在坐标系中用阴影表示满足的点； （3）与上述阴影部分围成的封闭图形（不含边界）中包含2个整点（横纵坐标均为整数的点）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022金中特长生考试数学真题 1. 15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉笼子有__________个. 【答案】2 【解析】 【分析】由八哥都回答没有，得回答没有的鹦鹉数量，可得只有鹦鹉的笼子数. 【详解】分三类情况：笼子里只有鹦鹉（①），笼子里只有八哥（②），笼子里既有鹦鹉也有八哥（③）， ①所有鹦鹉都说没有，②所有八哥都回答没有，③鹦鹉都回答有，八哥都回答没有， 由此可得无论何种情况八哥都回答没有，所以回答没有的鹦鹉有6只， 这6只都在只有鹦鹉笼子里，只有鹦鹉的笼子有个. 故答案：2 2. 四边形是正方形，边长为在上，则的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用对称性，结合几何关系，即可求解最大值. 【详解】作点关于的对称点，连接，由条件可知，都是的四等分点，所以， ， 故答案为：1 3. 二次函数与交于两点且在的右侧，交的对称轴于点； （1）当__________时，重合； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，结合题意可得判别式为0，即可求得答案； （2）求得的横坐标的表达式，结合以及抛物线的对称性可得，解不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 联立得：，消去得， 由题意重合，即与相切， 故，解得：； 【小问2详解】 设点的横坐标分别为， 的对称轴为，故点的横坐标为1， 结合（1）以及题意可得， ， 由可知：， ， 且 解得：. 4. （1）已知为中点，过点作于，交于点，求. （2）已知，过点作于，交于点，求. （3）在（2）的条件下，为常数，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）构造平行，利用三角形相似求解对应边的比值即可； （2）同（1）问，构造平行，利用三角形相似求解对应边的比值即可； （3）根据（2）中结论，转化线段关系，结合不等式性质即可得结论. 【详解】法一：过点作平行，交的延长线于点 易证，则， 所以 法二：过点作交于点，由平行线分线段成比例可知： 由射影定理得，， 所以， 所以； （2）过点作交于点，由平行线分线段成比例可知： 由射影定理得，， 则， . （3）法一：， ， 设，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时，符合題意， 的最小值为. 法二：过点作的垂线，交于点，则， ，设， 取中点，过点作的垂线段， ，即， ，解得：， 的最小值是. 5. 已知是圆的切线，是直径，是弧的中点，是直线与的交点 （1），求； （2），求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合圆的几何性质推出，继而推出，利用勾股定理即可求得答案; （2）利用圆的几何性质以及切线性质推出∽，即可得，结合，可推出，从而利用，求得答案. 【小问1详解】 连接，由为弧的中点可知：平分， 是直径，是等腰三角形， 则， ； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 由是圆的切线，则, 故， 则∽，则， 即，即， 由于，故. 6. 可以表示为数轴上1右边的点 （1）可以在平面直角坐标系中表示为__________； （2）在坐标系中用阴影表示满足的点； （3）与上述阴影部分围成的封闭图形（不含边界）中包含2个整点（横纵坐标均为整数的点）求的取值范围. 【答案】（1）直线上方区域（不含边界） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过类比，判断不等式表示的区域； （2）作出不等式组表示的区域； （3）结合图形，考虑临界位置，求出的取值范围. 【