精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

哈九中2024届高三下学期开学考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为 A. B. C. D. 4. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数、、使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率、、，则、、的一种可能取值依次为（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ） A. 64 B. 80 C. D. 8. 已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. P为中点时，过D，P，Q三点平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点P，使得平面平面 C. 的最小值为 D. 三棱锥外接球表面积最大值为 12. 如图，双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点，从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分.若双曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　） A. 若射线n所在直线的斜率为k，则 B. 当时， C. 当时， D. 若点T的坐标为，直线与C相切，则 Ⅱ卷 三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分. 13. 在二项式的展开式中，有理项的个数为____________. 14. 在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________. 15. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__． 16. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为_________________. 四、解答题：本题共有6个小题，共70分. 17. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后部分边界是以为圆心的一段圆弧. (1)求曲线段的函数表达式； (2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值. 18. 记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 . （1）求数列的通项公式； （2）对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和. 19. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 （1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； （2）若该市所有参赛市民成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； （3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，