2024届湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学一模数学试题

长郡中学2024届高三模拟考试（一) 数学 命题人： 审题人： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知双曲线-上=1，则该双曲线的渐近线方程为 24 A.y=士x B.y=±2x C.=± 2 D.y=±V2x 2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三 个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人， 高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为 A.30 B.25 C.20 D.15 3.若3sin(x-a)-4cosa=0,则1-cos2a= A.5 B.18 C.27 D.32 25 25 5 4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日 4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中， 他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为 A.413 B.427 C.308 D.133 的展开式中含x项的系数为 A.20 B.-20 C.30 D.-30 数学试题（第1页，共4页） 6.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB,则AB的弧 长的近似值5的计算公式：5=AB+C口，利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞 OA 在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人 体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为60°，则 伞的弧长大约为(V3≈1.7) A.5.3米 B.6.3米 C.8.3米 D.11.3米 7.函数x)=ar3-ar2+br(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件是 A.a≠0，且a>4b B.a>0,且a<4b C.a<0,且a>4b,b≠0 D.a<0,且a<4b,b≠0 则 8.已知实数a,b分别满足e=1.02,lnb+1)=0.02,且c= A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知1为虚数单位，复数= 2 3+' 下列说法正确的是 A月 B.复数：在复平面内对应的点位于第四象限 3i-<0 C. D.:+}为纯虚数 10.已知函数x)=Atan(r十p)(o>0,0<o<π)的部分图象如图所示， 则 23 A.0·p·A= B.x)的图象过点1x23 63 C.函数y=x的图象关于直线x=5江对称 3 D.若函数y=x训+x)在区间（一江，）上不单调，则实数的取值范围是[-1，] 6 6 数学试题（第2页，共4页） 11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1~10的10个小球， 每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1 步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共 前进n步的概率为Pm,则下列说法正确的是 A.p2=, 4 B.p=(3) C.pm=1-2pa-m≥2) D.小华一共前进3步的概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A=g∈Ny=log,(-1)},B={-2,-1,1,2,3,4},则4∩B的真子集的 个数为 13.已知O为坐标原点，F(-1,0),F1,0),Q0,3),向量m=(1,一2)，动点P满足 PQ∥m,写出一个a,使得有且只有一个点P同时满足PF-PF=2a(0<a<1), 则a= 14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底 座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的 外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为√5， 则球形灯半径？与正四棱台外接球半径R的比值为 四、解答题：本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 正四棱柱ABCD一AB1CD1中，AB=2,E,H分别是棱A1B1,AD的中点，AE⊥CD1. (1)求正四棱柱ABCD一A1B1CD1的