精品解析：湖北省恩施州利川市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

利川市第一中学2024年高二下学期入学考试 数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. “方程表示椭圆”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等边三角形边长为，则（ ） A B. C. D. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题： ①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立． 以上命题中，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 8. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体P－ACD是鳖臑 B. 阳马P－ABCD的体积为 C. 阳马P－ABCD的外接球表面积为 D. D到平面PAC的距离为 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知点是曲线：上的动点，点是直线上的动点.点是坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 原点在曲线上 B. 曲线围成的图形的面积为 C. 过至多可以作出4条直线与曲线相切 D. 满足到直线的距离为的点有3个 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是______． 14. 已知向量，满足，，则______. 15. 已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为______． 16. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; （2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 19. 已知递增的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，，求数列的前项和. 20. 椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆方程； （2）设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当