精品解析：江苏省南京市第一中学2021年高中特长生考试数学试卷

2021年一中特长生考试数学部分 1 解方程：． 2. 如图，在中，．请你设计两种不同的分法，将分割成四个小三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）． 3. 讨论关于x的方程根的情况． 4. 如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点，点M为中点，求取值范围． 5 解答下列各题． （1）求的值． （2）求的值． （3）______． 6. 某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？ 7. 如图，，P为内一点，，A、B分别为、上动点，求周长最小值． 8. 点G为的中点，，，延翻折使点F落在上，四边形为矩形，求______． 9. 如图，中，M为中点，过M作于点D，于点E，且，，，则A到的距离为______． 10. 已知抛物线交x轴于，，且． （1）m的值为______； （2）已知点，，P，Q均在抛物线上，且，时，均有，则a的取值范围是______； （3）有点，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线交y轴于E．M为线段上一点，当时，则M横坐标为______． 11. 有两个正整数x，，其最大公约数与最小公倍数之和等于这两个数的积与和的差，则： （1）满足条件数组共有______个； （2）在所有满足条件的数组中，的最大值为______． 12. 如图，矩形中，连接，，，E为一动点，沿方向运动，速度为1单位长度每秒，运动时间为秒，过E作于F（F可与B，C重合），以为边在矩形内部作正方形，若直线将矩形面积分成的两部分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021年一中特长生考试数学部分 1. 解方程：． 【答案】，，． 【解析】 【分析】由题意因式分解得，进一步结合一元一次、一元二次方程的求根公式即可求解. 【详解】， 或， 若，则， 若，则， 原方程的解：，，． 2. 如图，在中，．请你设计两种不同的分法，将分割成四个小三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）． 【答案】画图见解析． 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质，结合全等三角形、相似三角形的意义作出图形. 【详解】①作角的平分线，交于，过点分别作交于，于， 则是两个全等的三角形，是两个相似但不全等的直角三角形，如图： 在中，，则，且， 于是，，又， 因此≌，显然，则∽，且， 所以是两个全等的三角形，是两个相似但不全等的直角三角形. ②作于，作的平分线交于，再过作于， 则是两个全等的三角形，是两个相似但不全等的直角三角形，如图： 在中，，则，由于，得， 于是，而，则≌，且∽，有， 所以是两个全等的三角形，是两个相似但不全等的直角三角形. 3. 讨论关于x的方程根的情况． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】将方程化为一般式，讨论判别式即可求解. 【详解】 ， 当且时，，方程有两个相等实数根， 当或时，，方程有两个不等实数根． 4. 如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点，点M为中点，求取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意得当M与半圆交点N处，，当M在Q时，，进一步结合三角形三边关系以及图形性质即可求解. 【详解】作，中点P，Q，连接，， 则，，， 点M在以为直径的半圆上， 当M在与半圆交点N处，，当M在Q时，， ， ，，，，， ，， ，，． 5. 解答下列各题． （1）求的值． （2）求的值． （3）______． 【答案】5. 6. 7. 【解析】 【分析】（1）由等比数列求和公式求解即可. （2）由等比数列求和公式求解即可. （3）由等比数列求和公式结合分组求和求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 小问3详解】 原式 ． 6. 某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得当过A，B，D的与l相切时，最大，结合图形性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图，在上截取，则D在过P，且与地面平行的直线l上， 当过A，B，D的与l相切时，最大， 过O作，则， ， ，． 应距． 7. 如图，，P为内一点，，A、B分别为、上动点，求周长最小值． 【答案】12 【解析】 【